Функція розподілу Фермі-Дірака та Максвела-Больцмана

Необхідно знати ще й імовірність того, що стан з енергією Е буде зайнятий частинкою, тобто необхідно знайти функцію розподілу частинок за енергією f (E).

Відомо, що електрони підкоряються статистиці Фермі-Дірака, оскільки мають спін ±½. Ця статистика вимагає, щоб 1) у частинки був напівцілий спін, 2) частинки були тотожні між собою, 3) число частинок у системі було незмінним.

Згідно з цією статистикою

де E_F – електрохімічний потенціал або функція Фермі.

похідна

При 0 К всі стани з E < E_F заповнені електронами, а з E > E_F – вільні. При Т>0 функція розширюється в околі E_F в смузі шириною порядку kT. Похідна – парна функція відносно E = E_F і рівна при E = E_F.

Імовірність знайти дірку з енергією Е, тобто f_p (E,T), дорівнює

Енергія електронів відраховується від дна зони провідності вгору, а дірок – від стелі валентної зони вниз.

Коли рівень Фермі лежить нижче дна зони провідності чи вище стелі валентної зони, тоді

і функція Фермі перетворюється на функцію Максвела-Больцмана.

Енергія E_F відповідає максимальній енергії електронів у металі при 0 К. Відповідна ізоенергетичні поверхня називається поверхнею Фермі. При Т > 0 рівень Фермі відповідає рівню енергії, заповненому наполовину.

В металах положення рівня Фермі дуже слабо залежить від температури:

Електропровідність речовини визначається електронами, які лежать поблизу поверхні Фермі. Чим більша площа ізоенергетичної поверхні, тим більша провідність металу.