Ефективна маса. Дисперсія енергії E(k) в області екстремальних точок

Взаємодія з полем кристалічної ґрати спрощується введенням ефективної маси.

Для вільного електрона

З останнього виразу випливає, що

Якщо в останній вираз підставити формулу для вільного електрона, то отримаємо m*=m_o. Проте, для зон маса електрона визначається законом дисперсії E (k). У загальному випадку ефективна маса – це тензорна величина. Тензор симетричний, його можна привести до діагонального виду вздовж головних осей симетрії ізоенергетичної поверхні в k -просторі.

Мінімуму E (k) відповідає позитивна маса, максимуму – негативна.

В максимумі валентної зони ефективна маса електрона від’ємна, тому її замінюють на дірку з позитивною масою. Тому в зовнішньому полі ці частинки рухаються в протилежний бік. Це можна інтерпретувати як зміну знаку заряду носія.

Сила, що діє на заряд дає прискорення, величина якого залежить від частки від ділення заряду на масу. Оскільки знак маси у валентній зоні помінявся, то це все одно, що помінявся заряд електрона на позитивний з позитивною масою дірки.

У випадку

величина ефективної маси в екстремумі обернено пропорційна до інтеграла перекривання хвильових функцій сусідніх атомів А. Крім того, інтеграл перекривання визначає ширину забороненої зони 12 А. ефективна маса електрона буде обернено пропорційна ширині дозволених зон енергії. Тому чим вище лежить зона дозволених енергій, тим вона ширші і тим менша величина ефективної маси електрона чи дірки.

Задачі (тести)

1. Зі скількох підрівнів складається енергетична зона кристала, який містить N атомів, якщо даний енергетичний рівень в ізольованому атомі має (2 l +1) – кратне виродження?

a) N, b) 2N, c) 3N, d) N(2 l +1), f) 2N(2 l +1).

2. Зі скількох підрівнів складається енергетична зона кристала, який містить N атомів, якщо в ізольованому атомі цій зоні відповідає р -рівень?

a) N, b) 2N, c) 3N, d) 4N, f) 5N.

3. Скільки електронів здатна вмістити енергетична зона кристала, який містить N атомів, якщо в ізольованому атомі цій зоні відповідає р -рівень?

a) N, b) 2N, c) 3N, d) 4N, f) 5N, g) 6N.

4. Скільки електронів в нормальному стані вмістить 2s-зона кристала літію, який містить N атомів?

a) N/2, b) N, c) 2N, d) 3N, f) 0.

5. Які умови виявляються необхідними і достатніми для виникнення у тіл високої провідності?

1) наявність вільних електронів, 2) частково заповнених зон, 3) повного заповнення зон, 4) зв’язаних електронів, 5) заборонених зон.

a) 1, b) 1,2, c) 1, 3, d) 2,4, f) 1, 3, 5.

6. Як зміниться ширина зони провідності кристала і кількість підрівнів у зоні, якщо кристал розрізати на дві рівні частини?

a) Ширина зони зменшиться, кількість підрівнів у зоні не зміниться.

b) Ширина зони не зміниться, кількість підрівнів у зоні зменшиться.

c) Ширина зони зменшиться, кількість підрівнів у зоні зменшиться.

d) Ширина зони не зміниться, кількість підрівнів у зоні не зміниться.

7. Які речовини за шириною забороненої зони ΔE слід віднести до діелектриків?

1) алмаз (ΔE = 5,2 еВ), 2) нітрит бору (ΔE = 4,6 еВ), 3) германій (ΔE = 0,66 еВ), 4) кремній (ΔE = 1,08 еВ), 5) арсенід галію (ΔE = 1,43 еВ).

а) 1, 2; б) 3, 4; в) 5; г) 3-5.

8. Які речовини за шириною забороненої зони ΔE слід віднести до напівпровідників?

1) алмаз (ΔE = 5,2 еВ), 2) нітрит бору (ΔE = 4,6 еВ), 3) германій (ΔE = 0,66 еВ), 4) кремній (ΔE = 1,08 еВ), 5) арсенід галію (ΔE = 1,43 еВ).

а) 1; б) 2; в)3, 5; г) 4; д) 1, 2.

9. Валентна зона германію складається з трьох підзон: зони важких дірок, зони легких дірок і відщепленої зони. Дисперсійна залежність для перших двох зон має вигляд

де А = -13,0; В = 8,6; С = 12,8,

а для третьої де Δ = 0,28 еВ. Визначити величину ефективної маси електрона в цих зонах.

10. Пояснити відмінність між металом, напівметалом, напівпровідником і діелектриком з точки зору структури їхніх енергетичних зон та характеру їх заповнення електронами.