Умови циклічності Борна-Кармана. Дискретність хвильових векторів

Фізично можливі значення (дискретні) хвильового вектора можна отримати з граничних умов – умов Борна-Кармана. Розбивають об’єм кристалу на віддалені кубики з довжиною сторони L. Тоді хвильові функції еквівалентних точок сусідніх кубиків будуть тотожними. Величина L кратна до сталої ґратки: L_x = n_xa_x, … Тепер виявляється, що

k_xn_xa_x, = 2π N_x, k_yn_ya_y, = 2π N_y, k_zn_za_z, = 2π N_z.

Отже, хвильовий вектор змінюється дискретно. Кожному такому значенню k відповідає певний стан електрона. Кількість таких станів

N_k – кількість елементарних комірок в кристалі. Отже, кількість дозволених станів хвильового вектора в зоні Бріллюена дорівнює кількості елементарних комірок в кристалі. Це ж число відображає кількість дозволених квантових станів в кожній окремій енергетичній зоні дозволених енергій. Тому (включаючи обмеженість хвильового число зоною Бріллюена) електрони в кристалі називаються квазічастинками з квазіхвильовим вектором k і квазіімпульсом ħk. Отже, у кристалі роль квантових чисел відіграють три компоненти хвильового вектора: k_x, k_y, k_z, а також спін електрона.

Наслідком періодичності в оберненій ґратці є періодичність всіх фізичних величин, зокрема енергії електрона:

- парна функція від k (в парних степенях).