Теоретические упражнения

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Юго-Западный государственный университет»

(ЮЗГУ)

Кафедра высшей математики

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

___________О.Г. Локтионова

«____»_____________2014 г.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Индивидуальные задания и методические указания к выполнению модуля 6.1

для студентов технических специальностей

Курск 2014

УДК 514.12

Составители: О.А. Бредихина, С.В. Шеставина

Рецензент

Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Н.А. Моргунова

Функции нескольких переменных: Индивидуальные задания и методические указания к выполнению модуля 6.1/ Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: О.А. Бредихина, С.В. Шеставина. Курск, 2014. 15 с.

Содержит теоретические упражнения, практические индивидуальные задания и контрольные вопросы, а также примеры решения индивидуальных заданий. Работа предназначена для студентов очного отделения технических специальностей.

Текст печатается в авторской редакции

Подписано в печать ___________. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л.. Уч.-изд. л.. Тираж экз. Заказ. Бесплатно.

Юго-западный государственный университет.

305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

1. Теоретические упражнения…………………………….……..……4

2. Практические задания

2.1. Задание 1…..……………………………………….….…..……6

2.2. Задание 2…..………….…………………………….……..……7

2.3. Задание 3

Задание 2.3.1…..………………………………….……….……..8

Задание 2.3.2…..…………………………………….……...……8

Задание 2.3.3…..…………………………………….……...……8

Задание 2.3.4…..………….……………………….……..…....…8

Задание 2.3.5…..………….……………………….……..…....…8

2.4. Задание 4…..………….…………………………….……..……9

2.5. Задание 5…..………….…………………………….……..……9

3. Примеры решения задач

3.1. Решение задания 1…..……………..……………….…………10

3.2. Решение задания 2…..……………..……………….……...….10

3.3. Решение задания 3

Задание 3.3.1…..……..…………………………….……..…….11

Задание 3.3.2…..…………………………………….…….……11

Задание 3.3.3…..…………………………………….……….…11

Задание 3.3.4…..………….……………………….……..…..…11

Задание 3.3.5…..………….……………………….……..…..…12

3.4. Решение задания 4…..……………..……………….…………12

3.5. Решение задания 5…..……………..……………….…..……..13

4. Контрольные вопросы…………………………………………..…14

Список рекомендуемой литературы…………………………….......15

Теоретические упражнения

1. Для функции двух и трёх переменных введите понятие графика функции, линии и поверхности уровня. Найдите поверхности уровня функций и изобразите их графически:

а) ;

б) ;

в) .

2. Введите определение предела функции нескольких переменных. Вычислите:

а) ;

б) .

3. Сформулируйте свойства непрерывных функций двух переменных, заданных в замкнутой области. Одно из них докажите.

4. В чём заключается геометрический смысл частных производных функции двух переменных? Проиллюстрируйте.

5. Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям. Вычислите с использованием данной теории .

6. Дана функция . Исследуйте её на непрерывность в области определения D, является ли она равномерно непрерывной в области D?

7. Выведите необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

8. Выведите формулу производной сложной функции:

а) в случае одной независимой переменной;

б) в случае нескольких независимых переменных.

9. Введите понятие дифференциала функции многих переменных. Для функции двух переменных выведите формулу для вычисления дифференциала n-го порядка.

10. Сформулируйте теорему об инвариантности формы полного дифференциала.

11. Выведите формулу для вычисления производной функции , заданной неявно соотношением , через частные производные , .

12. Выведите формулы для вычисления частных производных и от функции, заданной неявно .

13. Выведите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

14. Сформулируйте теорему о смешанных частных производных. Рассмотрите случай производных 2-го порядка от функций 2 переменных.

15. Выведите формулу для нахождения производной по направлению от функций 2-х переменных.

16. Запишите формулу Тейлора для функций 2-х переменных.

17. Докажите необходимые условия экстремума функции 2-х переменных.

18. Опишите достаточные условия экстремума функции 2-х переменных.

19. Какие задачи называются задачами отыскания условного экстремума функции . Экстремум функции Лагранжа.

20. Найдите условные экстремумы функций:

а) при ;

б) при ;

в) при .

21. Сформулируйте определение оператора Лапласа. Запишите уравнение теплопроводности в пространстве.

22. Рассмотрите частные случаи уравнения теплопроводности в пространстве: уравнение теплопроводности в стержне, уравнение теплопроводности на плоскости.

23.Сформулируйте определение гармонической функции . Приведите пример.

24. Докажите, что функция , удовлетворяет уравнению Лапласа :

а) ;

б) .