Глава 5. Многогранники

Многогранниками называются пространственные фигуры, состоящие из отдельных плоскостей (граней). Линии пересечения граней называются ребрами, которые представляют собой прямые линии.

5.1. Образование поверхностей многогранников

Образование любой поверхности можно представить как непрерывный ряд изображений, полученный при движении одной линии (образующей) по другой линии (направляющей). Поскольку и образующей и направляющей может быть произвольная кривая линия, то и поверхность может иметь любую произвольную форму, в общем случае достаточно сложную.

Рис. 5.1. Образование гранных поверхностей.

В том случае, когда образующая и направляющая являются прямыми линиями, получаем простейшую поверхность – плоскость. Если образующей является прямая линия, а направляющей ломаная, получаем гранную поверхность. Когда образующая закреплена в одной точке, при движении по направляющей она вычерчивает пирамидальную поверхность (рис. 5.1а). Если образующая перемещается параллельно какому-либо направлению, получаем призматическую поверхность (рис. 5.1б).

В дальнейшем из всех гранных поверхностей рассмотрим лишь призматическую и пирамидальную.

5.2. Точка и линия на поверхности многогранника

Рассмотрим задачу построения отсутствующих проекций точек 1, 2, 3, лежащих на поверхности прямой пирамиды (рис. 5.2).

Для определения положения горизонтальной проекции 1₁ используем образующую пирамиды: проведем через вершину S ₂ и точку 1₂ прямую до пересечения с ребром А ₂ В ₂ основания. Затем по линии связи получим горизонтальную проекцию этой точки на ребре А ₁ В ₁. Соединив полученную точку с вершиной S ₁, будем иметь горизонтальную проекцию образующей. На ней и лежит точка 1₁, положение которой определим по линии связи 1₂. Аналогично можно построить горизонтальную проекцию 2₁, с учетом того, что (2₂) – невидимая. Значит точка 2 лежит на грани SAC. Тогда основание образующей попадает на ребро АС основания. В остальном построения полностью повторяют предыдущие.

Однако для определения положения горизонтальной проекции 3₁ использовать образующую не представляется возможным, так как ребро SB, на котором лежит точка 3, в проекциях на П ₁, П ₂ дает вертикальную прямую (т.е. является профильной линией уровня). В этом случае используют линию, параллельную основанию. Через точку 3₂ проводят прямую, параллельную А ₂ В ₂, до пересечения с ребром S ₂ A ₂. Затем на ребре S ₁ A ₁ по линии связи получают горизонтальную проекцию точки пересечения, через которую проводят прямую параллельно А ₁ В ₁. Поскольку точка 3 лежит на этой прямой, то продолжая ее горизонтальную проекцию до пересечения с ребром S ₁ В ₁, получаем точку 3₁.

Рис. 5.2. Построение точек на поверхности пирамиды.

Профильную проекцию 1₃ строим на основании взаимосвязи между горизонтальной и профильной проекциями точки. А именно, откладываем по линии связи, проходящей через 1₂, от базовой линии Ф₃ вправо отрезок, равный расстоянию от 1₁ до Ф₁, как это делалось при построении профильной проекции пирамиды. Точка 2₃ лежит на пересечении горизонтальной линии связи, проходящей через 2₂, и грани S ₃ A ₃ C ₃, превратившейся в прямую S ₃ A ₃. Наконец, точку 3₃ находим на горизонтальной линии связи, проходящей через 3₂ и ребро S ₃ В ₃.

Следует заметить, что горизонтальную проекцию 3₁ можно найти через профильную. Для этого измеряем расстояния от 3₃ до Ф₃ и откладываем его вниз от Ф₁ по ребру S ₁ В ₁.

Линию на поверхности многогранника можно построить по характерным точкам, которыми являются точки ее изгиба и точки перехода через ребра. При этом следует помнить, что ломаная линия на поверхности многогранника будет ломаной, состоящей из отрезков прямой, в любой плоскости проекций, а кривая – кривой (за исключением частных случаев).

5.3. Позиционные задачи

В этом разделе рассматриваются позиционные задачи на определение общих элементов многогранника и более простых по сравнению с ним геометрических объектов, таких как прямая и плоскость, а также способы построения линии пересечения многогранников между собой.

5.3.1. Пересечение многогранника прямой

Пусть требуется определить точки пересечения прямой а и призмы АВСА*В*С* (рис. 5.3).

Проведем через прямую а фронтально–проецирующую плоскость S. Тогда S₂= а ₂. Определим фронтальные проекции точек пересечения плоскости S с прямой а. Это точки 1, 2, 3, 4, где плоскость S пересекает ребра призмы. Их фронтальные проекции 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ легко получить на линии а ₂. Ясно, что по этим точкам проходит фронтальная проекция 1₂2₂3₂4₂ плоской фигуры, полученной в результате пересечения S и призмы. Для построения ее горизонтальной проекции достаточно по линиям найти горизонтальные проекции 1₁, 2₁, 3₁, 4 точек, лежащих на соответствующих ребрах призмы, соединив которые получим искомую плоскую фигуру 1₁2₁3₁4₁. Стороны этого четырехугольника лежат на соответствующих гранях призмы.

Рис. 5.3. Определение точек пересечения прямой и призмы.

Следовательно, зная видимость граней призмы, можно определить видимость сторон четырехугольника на П ₁: невидимой является лишь сторона 3₁4₁. Одно, что точки М ₁ и N ₁- горизонтальные проекции точек пересечения прямой а и призмы, так как они одновременно принадлежат и прямой а и линиям 23 и 34, лежащим на поверхности призмы. По линиям связи найдем положение точек М ₂ и N ₂, лежащих на а ₂.

Видимость определяется по принадлежности точек М и N граням призмы.

5.3.2. Натуральная величина сечения

Сечением многогранника называется плоская фигура, расположенная в секущей плоскости и ограниченная линиями пересечения ее с многогранником.

Часто приходится не только строить сечение многогранника плоскостью частного положения, но и определять натуральную величину сечения (рис 5.4). Пусть задана горизонтальная проекция S₁. Необходимо найти линию пересечения плоскости S с пирамидой и определить натуральную величину сечения. Таким образом, задача разбивается на две части: сначала надо построить сечение в плоскостях П ₁и П ₂, а затем определить его натуральную величину.

Рис. 5.4. Построение линии пересечения и определение натуральной величины сечения пирамиды плоскостью.

Найдем все точки пересечения плоскости S с ребрами пирамиды и соединим их отрезками прямой. Горизонтальная проекция S₁ пересекает ребра пирамиды в точках 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ (рис. 5.4а). По линиям связи находим их фронтальные проекции 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ на фронтальных проекциях соответствующих ребер. Соединяя найденные точки, получаем линию пересечения 1₂2₂3₂4₂ заданной плоскости с пирамидой. Плоская фигура, ограниченная полученной линией (на рис. 5.4а заштрихована), и является сечением пирамиды плоскостью. В нашем примере это четырехугольник 1234.

Для определения натуральной величины четырехугольника 1234 способом замены плоскостей проекций не обязательно строить новую ось параллельно S₁ (или 1₁2₁4₁3₁), ввиду ограниченности площади чертежа. Достаточно соблюдать основные принципы построения. Начертим новую ось на свободном поле чертежа. Перенесем на нее точки 1₁,2₁,4₁,3₁, не меняя расстояния между ними. Проведем через них перпендикуляры к оси. Затем отложим на построенных перпендикулярах отрезки, равные расстояниям от оси П ₂/ П ₁, которую считаем расположенной на основании А ₂ В ₂ С ₂ пирамиды, до соответствующих проекций 1₂, 2₂, 4₂, 3₂. Соединив указанные точки, получим натуральную величину сечения пирамиды заданной плоскостью S (рис. 5.4б).

5.3.3. Пересечение двух многогранников

При пересечении двух многогранников общим геометрическим элементом является замкнутая ломаная линия, состоящая из участков прямой. Точки излома получаются в местах пересечения граней одного многогранника с ребрами другого.

В том случае, когда один из многогранников занимает частное положение (т.е. его боковые грани проецируются на одну из плоскостей проекций в многоугольник), задача построения линии их пересечения решается достаточно просто. Ввиду того, что одна из проекций многогранника – многоугольник, проекция линии пересечения на эту плоскость проекций совпадает с ним. Поскольку линия пересечения многогранников принадлежит каждому из них, то задача сводится к построению отсутствующих проекций ломаной линии, а следовательно, к построению проекций точек на поверхности многогранника. Пусть пересекаются пирамида и призма частного положения (рис. 5.5). Требуется построить проекции линии их пересечения.

Поскольку призма расположена так, что все ее боковые грани перпендикулярны П ₁, то на П ₁ ее боковая поверхность проецируется в треугольник D ₁ E ₁ F ₁. И горизонтальной проекцией линии пересечения призмы DEFD*E*F* и пирамиды SABC является ломаная линия 1₁ Е ₁5₁. Таким образом, горизонтальная проекция линии пересечения призмы и пирамиды получена без каких бы то ни было дополнительных построений. Следует учитывать, что грани призмы пересекают не только грань SAC, но и грани SBC и SAB пирамиды. Следовательно, можно отметить все точки излома линии пересечения 1₁ Е ₁5₁, расположенные на пересечении ее с ребрами пирамиды. А именно, точки 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁, 6₁. Очевидно, что 3₁=6₁, так как ребро ЕЕ* призмы пересекает две грани SAB и SAС пирамиды.

Линия пересечения на каждой из проекций должна быть замкнутой. Причем ясно, что можно соединять отрезками прямой лишь точки, лежащие на одной и той же грани. Эти правила универсальны, и относятся к любой задаче о пересечении многогранников.

Тогда на П ₁ получаем горизонтальную проекцию линии пересечения призмы и пирамиды в виде ломаной 1₁2₁3₁4₁5₁6₁1₁, лежащей на гранях пирамиды (вместе с тем и призмы).

Для нахождения фронтальной проекции этой линии необходимо решить задачу построения проекций ломаной линии на поверхность пирамиды. Достаточно построить фронтальные проекции указанных точек. Так как точки 1, 2, 4, 5 лежат на ребрах пирамиды, то их фронтальные проекции 1₂, 2₂, 4₂, 5₂ легко получить по линиям связи. Для нахождения фронтальных проекций 3₂ и 6₂ точек 3 и 6, лежащих на гранях SAB и SAС соответственно, необходимо через точки 3₁ и 6₁ провести образующие S ₁7₁ и S ₁8₁. Точки 7 и 8 лежат на основании пирамиды, поэтому по линиям связи можно найти фронтальные проекции 7₂ и 8₂ на соответствующих ребрах основания А ₂ С ₂ и А ₂ В ₂ пирамиды. Построив фронтальные проекции S ₂7₂ и S ₂8₂ образующих, по линиям связи отметим на них точки 3₂ и 6₂. Соединив точки, получим замкнутую ломаную 1₂2₂3₂4₂5₂6₂1₂. Последовательность соединения определяется по горизонтальной проекции на основании правила принадлежности соседних точек пересечения одной и той же грани.

Видимость точек и линий на П ₂ определяется по принадлежности граням пирамиды.

Рис. 5.5. Построение линии пересечения пирамиды и призмы частного положения.

5.4. Развертка многогранника

Разверткой многогранника называется плоская фигура составленная из его граней, развернутых на одну плоскость.

5.4.1. Развертка призмы. Методы нормального сечения и раскатки.

Для развертки призмы применяют два метода: нормального сечения и раскатки. Рассмотрим последовательно каждый из них.

А. Метод нормального сечения.

Пусть требуется построить развертку наклонной трехгранной призмы АВCDEF (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Развертка наклонной трехгранной призмы.

Пересечем призму АВCDEF плоскостью S₁, перпендикулярной к боковым ребрам призмы. Построим сечение заданной призмы этой плоскостью – треугольник 123. Определим длины сторон треугольника 123. В свободном поле чертежа проведем прямую линию а (на рис. 5.6 прямая линия проведена горизонтально). От произвольной точки 1₀, взятой на этой прямой, отложим отрезки 1₀2₀, 2₀3₀, 3₀1₀, равные сторонам треугольника 123. Через точки 1₀, 2₀, 3₀, 1₀ проведем прямые, перпендикулярные прямой а, и отложим от точек 1₀, 2₀, 3₀, 1₀ отрезки, равные соответствующим длинам боковых ребер (1А, 1D, 2В, 2Е,…). Полученные точки А ₀, В ₀, C ₀, A ₀ и D ₀, E ₀, F ₀, D ₀ соединяем прямыми. Плоская фигура А ₀ В ₀ C ₀ A ₀ D ₀ F ₀ E ₀ D ₀ представляет собой развертку боковой поверхности призмы.

Чтобы получить полную развертку призмы, необходимо к развертке боковой поверхности пристроить основание призмы – треугольники АВС и DЕК, предварительно определив их неискаженные размеры.

5.4.2. Развертка пирамиды методом треугольников (триангуляции)

Для развертки боковой поверхности пирамиды применяют метод треугольников (триангуляции), который заключается в построении последовательно каждой боковой грани пирамиды, представляющей собой треугольник.

Пусть требуется сделать развертку четырехгранной пирамиды SABCD (рис. 5.7а

Сначала определим натуральную величину каждого из боковых ребер. Удобнее использовать способ вращения вокруг проецирующей оси. За ось i выбираем горизонтально–проецирующую прямую, проходящую через вершину S пирамиды. Вращаем проекции точек А ₁, В ₁, С ₁, D ₁ вокруг S ₁ до совмещения с горизонтальной прямой, проходящей через S ₁. Тогда горизонтальные проекции боковых ребер пирамиды примут новое положение S ₁ A ₁*, S ₁ B ₁*, S ₁ C ₁*, S ₁ D ₁*, параллельно горизонтальной оси проекций, т.е. ребра SA, SB, SC, SD будут приведены в положение фронталей. Остается получить фронтальные проекции боковых ребер в новом положении, после вращения. В соответствии со способом вращения вокруг проецирующей оси, в то время, когда одна из проекций точки вращается вокруг оси, другая перемещается по горизонтальной линии. На горизонтальных линиях, проходящих через точки А ₂, В ₂, С ₂, D ₂, находим их новое положение А ₂*, В ₂*, С ₂*, D ₂* по линиям связи с А ₁*, В ₁*, С ₁*, D ₁* соответственно. Тогда отрезки S ₂ A ₂*, S ₂ B ₂*, S ₂ C ₂*, S ₂ D ₂* и являются натуральными величинами каждого из боковых ребер.

Рис. 5.7. Развертка пирамиды.

Таким образом, предварительные построения закончены, теперь вычертим развертку боковой поверхности пирамиды. Для этого необходимо знать натуральную величину ребер основания пирамиды. В данном случае не требуется никаких дополнительных построений, так как основание пирамиды – четырехугольник АВСD – занимает положение горизонтальной плоскости уровня. Следовательно, длина проекций A ₁ B ₁, B ₁ C ₁, C ₁ D ₁, D ₁ A ₁ является натуральной величиной соответствующих ребер.

Построение развертки боковой поверхности сводится к построению треугольника по трем сторонам.

В случае, когда основание пирамиды занимает общее положение в пространстве, необходимо либо определить его натуральную величину способом замены плоскостей проекций, либо способом вращения вокруг проецирующей оси найти натуральную величину каждого ребра основания.

Вопросы для самоконтроля

1. Как образуется поверхность призмы?

2. В какой последовательности решается задача на определение точек пересечения прямой и многогранника?

3. Как образуется поверхность пирамиды?

4. Какие вы знаете способы построения натуральной величины сечения?

5. Каким способом строят развертки поверхностей пирамиды?

Тестовые задания

1. Что называется разверткой поверхности?:

а) плоская фигура, которая получается путем совмещения всех точек поверхности с плоскостью;

б) плоская фигура, которая получается путем совмещения части точек с другой поверхностью;

в) П₁.

2. Что представляет из себя линия пересечения двух гранных поверхностей?

а) плоскую ломаную;

б) пространственную ломаную;

в) плоскую кривую.

3. Задача на построение прямой на поверхности многогранника сводится:

а) к построению прямой на плоскости;

б) к построению кривой на плоскости;

в) к построению ломаной на плоскости.