Глава 4. Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа служат для решения метрических задач по определению натуральной величины геометрических объектов (отрезка прямой или плоскости), либо кратчайшего расстояния между геометрическими объектами.

Суть этих способов заключается в том, что необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы рассматриваемый геометрический объект занял положение параллельное какой-либо плоскости проекций. Тогда на нее он, очевидно, спроецируется в натуральную величину.

Такое преобразование комплексного чертежа может быть осуществлено двумя основными способами:

1. Способом вращения, при котором оставляют неизменной систему плоскостей проекций, а меняют положение заданного геометрического объекта путем его вращения вокруг одной или последовательно вокруг двух подходящим образом выбранных осей так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости оказались параллельными одной из плоскостей проекций. В качестве оси вращения обычно выбирают прямую, перпендикулярную одной из плоскостей проекций.

2. Способом замены плоскостей проекций, при котором оставляют неизменным положение в пространстве геометрического объекта, а заменяют одну или последовательно обе плоскости проекций так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости оказались параллельными одной из новых плоскостей проекций.

Этими способами также можно решать задачи на приведение геометрических объектов в проецирующее положение.

4.1. Способ вращения вокруг проецирующей оси

Рассмотрим вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций П ₁ (рис. 4.1). Ось вращения проецируется на плоскость П ₁ в точку, а на плоскость П ₂ - в прямую, перпендикулярную оси ОХ. Траекторией движения точки А будет окружность, лежащая в плоскости вращения, параллельной плоскости П ₁, с центром вращения в точке О, лежащей на оси, и с радиусом вращения ОА (рис. 4.1, а).

Траектория движения точки проецируется на плоскость П ₁ в натуральную величину, а на плоскость П ₂ - в виде прямой, параллельной оси ОХ. Радиус окружности проецируется на плоскость П ₁ в натуральную величину. Таким образом, горизонтальная проекция А ₁ точки А движется по окружности, а фронтальная проекция А ₂ - по прямой, параллельной оси ОХ.

Для того, чтобы повернуть точку А на угол j, откладывают этот угол на горизонтальной проекции (рис. 4.1, б) и получают горизонтальную проекцию А ₁ точки А в новом положении А ₁*. Фронтальную проекцию А ₂* этой точки находят с помощью линии проекционной связи, которую проводят из точки А ₁* до пересечения с прямой, проведенной из точки А ₂ параллельно оси ОХ.

Рис. 4.1. Вращение точки вокруг горизонтально-проецирующей оси

4.2. Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения является частным случаем способа вращения вокруг проецирующей оси, с той лишь разницей, что геометрический объект можно не только вращать, но и перемещать вдоль плоскости, параллельной одной из плоскостей проекций.

При перемещении отрезка прямой в новое положение таким образом, что его крайние точки движутся параллельно какой-либо плоскости проекций, длина проекции отрезка на эту плоскость остается неизменной (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Плоскопараллельное перемещение отрезка прямой.

Преобразуем последовательно отрезок прямой линии общего положения АВ в положение горизонтали, затем фронтально-проецирующее положение. Для этого расположим фронтальную проекцию А ₂ В ₂ отрезка АВ параллельно оси ОХ (А ₂* В ₂ * параллелен ОХ) в любом месте чертежа. При этом точки А ₁ и В ₁ перемещаются в новое положение по прямым, параллельным оси ОХ, и будут лежать на линиях связи с А ₂*, В ₂* соответственно. Тогда новая горизонтальная проекция займет положение А ₁* В ₁*. Очевидно, что А ₁* В ₁*- натуральная величина отрезка АВ, т.к. А * В * является горизонталью. Затем А ₁* В ₁* переместим в новое положение, чтобы А ₁** В ₁** была перпендикулярна оси ОХ. Тогда А ₂**= В ₂**, т.е. АВ займет положение проецирующей прямой. Следует заметить, что при определение натуральной величины АВ, которой является А ₁* В ₁*, удаленность проекции А ₂* В ₂* от оси ОХ не играет роли. Важно лишь выполнение двух требований: А ₂* В ₂* должна быть равна А ₂ В ₂ и параллельна оси ОХ.

4.3. Способ замены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций П ₁ или П ₂ заменяется новой плоскостью проекций П ₄, подходящим образом расположенной относительно изображаемого геометрического объекта, но перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций.

В результате замены одной из основных плоскостей на плоскость проекций П ₄ получаем вместо старой системы плоскостей проекций П ₁/ П ₂ новую систему П ₁/ П ₄ (рис. 4.3), если заменялась плоскость П ₂, и систему П ₂/ П ₄, если заменялась плоскость П ₁.

Рис. 4.3. Интерпретация способа замены плоскостей проекций

Например, на рис. 4.3а плоскость П ₄ может выступать в роли фронтальной плоскости проекций П ₂. На рисунке 4.3б, фигурными скобками отмечены расстояния от точки А до горизонтальной плоскости проекций П ₁. Естественно, как видно на рис. 4.3а, эти расстояния равны А ₂ А ₁₂= А ₄ А ₁₄, так как высота точки А над плоскостью П ₁ проецируется как на П ₂, так и на П ₄ в виде одинаковых отрезков. Расстояние же до П ₂ и П ₄ от точки А могут быть различными, поэтому А ₁ А ₁₂¹ А ₁ А ₁₄.

Способ замены плоскостей проекций рационально применять при решении следующих задач:

- определение натуральной величины отрезка прямой линии;

- определение натуральной величины плоской фигуры;

- определение натуральной величины двугранного угла;

- определение кратчайшего расстояния от точки до прямой линии или до плоскости;

- определение кратчайшего расстояния между двумя параллельными или двумя скрещивающимися прямыми.

Решение задач данным способом рассмотрим на нескольких примерах.

4.3.1. Определение длины отрезка общего положения

Для определения натуральной величины (длины) отрезка АВ прямой линии необходимо сделать этот отрезок прямой линии общего положения в новой системе плоскостей проекций линией уровня. Чтобы отрезок АВ стал линией уровня относительно новой плоскости проекций, заменим плоскость П ₂ на плоскость П ₄, параллельную АВ, и перейдем от системы П ₁/ П ₂ к системе П ₁/ П ₄. Новую ось проекций X ₁₄, выбираем параллельно А ₁ В ₁ (рис. 4.4). Для построения новой проекции отрезка АВ проводим новые линии проекционной связи перпендикулярно оси Х ₁₄, и отмечаем на них новые проекции А ₄, В ₄ точек А и В. Для этого откладываем А _х1 А ₄= А ₂ А _х, В _х1 В ₄= В ₂ В _х.

Рис. 4.4. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня.

Соединяя найденные точки А ₄, В ₄, получаем новую проекцию А ₄ В ₄ отрезка АВ. Как видим, отрезок АВ в новой системе плоскостей проекций П ₁/ П ₄ является линией уровня, так как А ₁ В ₁ параллельна X ₁₄, а следовательно, АВ параллельна П ₄. Тогда, очевидно, что А ₄ В ₄ является натуральной величиной отрезка АВ.

4.3.2. Определение натуральной величины плоской фигуры

Для определения натуральной величины плоской фигуры необходимо дополнительную плоскость построить так, чтобы она была параллельна рассматриваемой фигуре, и тогда на эту плоскость проекций плоская фигура спроецируется в натуральную величину. Если в качестве плоской фигуры выбрать треугольник, тогда задача формулируется следующим образом: преобразовать плоскость треугольника общего положения в новой системе плоскостей проекций в плоскость уровня.

Одной заменой плоскостей проекций эту задачу решить невозможно, так как необходимо соблюдать условие: новая плоскость должна быть перпендикулярна незаменяемой. Поэтому решим эту задачу двумя заменами: первой заменой введем плоскость, которая перпендикулярна треугольнику АВС, второй заменой – плоскость, параллельную треугольнику АВС.

Для того, чтобы построить плоскость П₄, перпендикулярную треугольнику АВС, необходимо расположить ее так, чтобы она была перпендикулярна фронтали либо горизонтали треугольника АВС.

Пусть П₄ перпендикулярна горизонтали, тогда новая ось Х ₁₄ должна быть перпендикулярна h ₁ (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

Построим ее на произвольном расстоянии от треугольника А ₁ В ₁ С ₁. Затем из точек А ₁, В ₁, С ₁ проведем линии связи перпендикулярно Х₁₄. На каждой из них от оси Х ₁₄ отложим отрезок, равный расстоянию от фронтальной проекции соответствующей точки до оси Х ₁₂. В результате получаем новую проекцию В ₄ А ₄ С ₄ треугольника АВС, которая представляет собой прямую, поскольку плоскость треугольника АВС перпендикулярна плоскости П₄.

Второй заменой вводим вместо П₁ плоскость П₅, параллельную плоскости треугольника АВС. Тогда получается система плоскостей проекций П₄/П₅, ось Х ₄₅ которой параллельна В ₄ А ₄ С ₄. Она может быть расположена на произвольном расстоянии от В ₄ А ₄ С ₄. Далее из точек В ₄ А ₄ С ₄ проводим линии связи перпендикулярно Х ₄₅, и на каждой из них от оси Х ₄₅ откладываем отрезок, равный расстоянию от горизонтальной проекции соответствующей точки до оси Х ₁₄. Получим точки А ₅, В ₅, С ₅, соединив которые имеем треугольник А ₅ В ₅ С ₅, который и является натуральной величиной треугольника АВС, поскольку в новой системе плоскостей проекций треугольник АВС параллелен плоскости П₅.

Вопросы для самоконтроля

1. С какой целью осуществляется преобразование комплексного чертежа?

2. В чем заключается способ вращения вокруг проецирующей оси?

3. Назовите основные способы преобразования комплексного чертежа?

4. В чем сущность способа плоскопараллельного перемещения.

5. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?

Тестовые задания

1. При каком положении плоской фигуры можно определить ее натуральную величину:

а) фигура перпендикулярна П₂;

б) фигура параллельна плоскости проекций;

в) фигура занимает общее положение.

2. Какие прямые используются в качестве осей вращения:

а) линии уровня;

б) проецирующие прямые;

в) прямые общего положения.

3. При каком положении плоской фигуры можно определить ее натуральную величину только одной заменой плоскости проекций:

а) если она занимает проецирующее положение;

б) если она параллельна одной из плоскостей проекций;

в) если она занимает общее положение по отношению к плоскостям проекций.