Решение нелинейного уравнения

приближённым способом с заданной точностью

G Напоминание из курса математики:

1. Пусть f(x) = 0 – некоторое уравнение. Число х = η называется корнем, или решением данного уравнения, если подстановка его в уравнение обращает его в тождество, т.е. f(η) ≡ 0.

2. Корнями уравнения f(x)=0 являются абсциссы точек пересечения кривой y=f(x) с осью Ох.

3. Если функция y=f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка [a;b] значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого промежутка найдется нуль функции, т.е. корень уравнения f(x) = 0.

4. Приближённое решение уравнения f(x) = 0 состоит из двух этапов:

- нахождение грубо приближённых значений корней;

- уточнение найденных грубых приближений.

5. Метод последовательного приближения к значению корня с заданной точностью называется методом итераций.

Алгоритм решения нелинейного уравнения f(x) = 0 приближённым

(таблично- графическим) способом с заданной точностью ε:

1) отделить корень - установить промежуток [a;b] из области определения f(x),

в котором могут быть корни уравнения f(x) = 0;

2) протабулировать функцию y = f(x) в этом отрезке (см. 5.1);

3) построить график функции по полученным табличным значениям;

4) по таблице значений функции определить отрезок [x_i; x_i+1], (i=1..n) на концах которого функция y = f(x) принимает значения разных знаков

(этот же отрезок можно установить по графику – это отрезок, в котором график пересекает ось Ох). В этом отрезке содержится х, в котором f(x)=0

(см. Напоминание – теорема 3).

5) Если не будет достигнута требуемая точность, т.е. |f(x)|> ε,

уточнить корень: задать новые значения а= x_i и b= x_i+1, вернуться к шагу 4). Повторяя этот процесс («итерируя») несколько раз, получить значение корня х с заданной точностью, т.е. |f(x)| ≤ ε,

5.2.1. Пример выполнения задания: «Решение нелинейного уравнения»

Задание. Решить уравнение таблично-графическим

способом с точностью e = 0,0001.