IV. Методичні вказівки до виконання кр

ІІІ. ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ

ЗАВДАННЯ 1.

Варіант вибирається за номером у списку в журналі.

УМОВА ЗАДАЧІ:

З 1000 обстежених підшипників передньої підвіски автомобіля 900 підшипників виробили ресурс в справному стані і 100 – в несправному.

Все підшипники були обстежені по наступним ознакам:

– загальний рівень вібрації;

– температура;

– забруднення мастила.

У 70% справних підшипників загальний рівень був в діапазоні от 0,25 до 0,5 g, у 20% справних підшипників – от 0,5 до 0,75 g и у 10% – >0,75g.

У 80% справних підшипників температура лежала в діапазоні 50–70 град, у 10% – в діапазоні 70–90 град. І у 10% – >90 град.

У 90% справних підшипників забруднення змазки було в межах норми.

У 80% несправних підшипників спостерігалась вібрація >0,75 g, у 15% несправних підшипників вібрація в діапазоні 0,5–0,75g.

У 85% несправних підшипників температура була >90 град, у 8% несправних підшипників – в діапазоні 70–90 град.

У 70% несправних підшипників забруднення змазки було вище норми.

РОЗРАХУВАТИ ЗА МЕТОДОМ БАЙЄСА:

Варіант 1. Імовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,25–0,5g, температури >90 град, забруднення мастила в межах норми.

Уточнить апріорні імовірності появи справного и несправ­ного станів, а також умовні імовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника установлено, що у нього був справний стан и спостерігались: вібрація 0,25–0,5g, температура >90 град, забруднення змазки в межах норми.

Варіант 2. Імовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,5–0,75g, температури – 50–70 град, забруднення змазки в межах норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,5-0,75g, температура - 50-70 град, забруднення мастила в межах норми.

Варіант 3. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні >0,75g, температури - 50-70 град, забруднення мастила в межах норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація >0,75g, температура - 50-70 град, забруднення мастила в межах норми.

Варіант 4. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,25-0,5g, температури - 70-90 град, забруднення мастила в межах норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,25-0,5g, температура - 70-90 град, забруднення змащення в межах норми.

Варіант 5. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,5-0,75g, температури - 70-90 град, забруднення мастила в межах норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,5-0,75g, температура - 70-90 град, забруднення мастила в межах норми.

Варіант 6. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні >0,75g, температури - 70-90 град, забруднення змащення в межах норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація - >0,75g, температура - 70-90 град, забруднення мастила в межах норми.

Варіант 7. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,25-0,5g, температури - >90 град, забруднення мастила в межах норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,25-0,5g, температура - >90 град, забруднення мастила в межах норми.

Варіант 8. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,5-0,75g, температури - >90 град, забруднення мастила в межах норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,5-0,75g, температура - >90 град., забруднення мастила в межах норми.

Варіант 9. Імовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,25–0,5g, температури – 50–70 град, забруднення мастила в межах норми.

Уточнить апріорні імовірності появи справного и несправ­ного станів, а також умовні імовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника установлено, що у нього був справний стан и спостерігались: вібрація 0,25–0,5g, температура 50–70 град, забруднення змазки в межах норми.

Варіант 10. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,25-0,5g, температури - 50-70 град, забруднення мастила вище норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,25-0,5g, температура - 50-70 град, забруднення мастила вище норми.

Варіант 11. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,5-0,75g, температури - 50-70 град, забруднення мастила вище норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,5-0,75g, температура - 50-70 град, забруднення мастила вище норми.

Варіант 12. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні >0,75g, температури - 50-70 град., забруднення мастила вище норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація >0,75g, температура - 50-70 град, забруднення мастила вище норми.

Варіант 13. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,25-0,5g, температури - 70-90 град, забруднення мастила вище норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,25-0,5g, температура - 70-90 град, забруднення мастила вище норми.

Варіант 14. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,5-0,75g, температури - 70-90 град., забруднення мастила вище норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,5-0,75g, температура - 70-90 град, забруднення мастила вище норми.

Варіант 15. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні - >0,75g, температури - 70-90 град, забруднення мастила вище норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація - > 0,75g, температура - 70-90 град, забруднення мастила вище норми.

Варіант 16. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,25-0,5g, температури - 70-90 град, забруднення мастила вище норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,25-0,5g, температура 70-90 град, забруднення мастила вище норми.

Варіант 17. Ймовірність справного стану підшипника при спостереженні вібрації в діапазоні 0,5-0,75g, температури - 70-90 град, забруднення мастила вище норми.

Уточнити апріорні ймовірності появи справного і несправного станів, а також умовні ймовірності ознак, якщо в результаті обстеження 1000 підшипника встановлено, що у нього був справний стан і спостерігалися: вібрація 0,5-0,75g, температура ->90 град, забруднення мастила вище норми

IV. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ КР

МЕТОД БАЙЄСА.

Серед методів технічної діагностики метод, заснований на узагальненні формулою Байєса, займає особливе місце завдяки простоті та ефективності. Зрозуміло, метод Байєса має недоліки: великий обсяг попередньої інформацією, «пригнічення» рідко зустрічаються діагнози та ін.

Однак у випадках, коли обсяг статистичних даних дозволяє застосувати метод Байєса, його доцільно використовувати як один з найбільш надійних і ефективних.

Нехай заданий діапазон D_i і проста ознака k_j, що спостерігається при цьому діагнозі, тоді імовірність спільної появи подій (наявність у обєкта стану D_i и ознака k_j)

P (D_ik_j)= P (D_i) P (k_j / D_i)= P (k_j) P (D_i / k_j). (1)

З цього рівняння рівності випливає формула Байєса

(2)

Дуже важливо визначити чіткий зміст всіх вхідних в цю форму­лу величин:

P(D_i) – імовірність діагноза D_i, визначаємо за статичними даними (апріорна імовірність діагноза). Так, якщо завчасно обстежено N об’єктів і у N_i об’єктів був стан D_i, то

P(D_i) = N_i / N. (3)

P (k_j / D_i) – імовірність появи ознаки k_j у об’єктів з станів D_i. Якщо серед N_i об’єктів, що мають діагноз D_i, у N_ij, виявилась ознака k_j, то

(4)

P (k _j) – імовірність появи ознаки k_j в усіх об’єктів незалежно від стану (діагнозу) об’єкту. Нехай з спільного числа N об’єктів ознака k_j був виявлений у N_j об’єктів, тоді

P (k _j) = N _j / N. (5)

Для встановлення діагнозу спеціальне обчислення P(k_j) не потрібно. Як буде ясно з подальшого, значення P(D_i) и P(k_j /D_v), відомі для усіх можливих станів, визначають величину P(k_j).

В рівності (2) P(D_i / k_j) – імовірність діагнозу D_i після того, як стало відомо наявність у розглянутого об’єкту ознаки k_j (апостеріорна імовірність діагнозу).

Узагальнена формула Байеса відноситься к случаю, коли обстеження проводиться по комплексу ознак K, що включає ознаки k₁, k₂, …, k_ν. Кожен з ознак k_j має m_j розрядів (k_j1, k_j2, …, k_js, …, k_jm). В результаті обстеження стає відома реалізація ознаки

k ^* _j = k _js (6)

и всього комплексу ознак К^*. Індекс ^*, як и раніше, означає конкретне значення (реалізацію) ознаки. Формула Байеса для комплексу ознак має вид

P (D_i / K ^*) = P (D_i) P (K ^* / D_i)/ P (K ^*), (i =1,2,..., n), (7)

де P(D_i / K^*) – імовірність діагнозу D_i після того, як стали відомі результати обстеження по комплексу ознак K; P(D_i) – попередня імовірність діагнозу D_i (по попередньої статистиці).

Формула (7) відноситься к любому з n можливих станів (діагнозів) системи. Припускається, що система знаходиться тільки в одному з вказаних станів и потому

( 8)

В практичних задачах нерідко припускається можливість існування декількох станів А_х, …, А, причому деякі з них можуть зустрітися в комбінації один з одним. Тоді в якості різних діагнозів D_i потрібно розглядати окремі стани D₁=A₁..., D_r — А_r и їх комбінації D_r+1 = А_1^ А₂

Перейдемо до визначення Р(К^* / D_i). Якщо комплекс ознак складається з n ознак, то

, (9)

де k: =k:_s- розряд ознаки, виявлений в результаті обстеження. Для діагностичних незалежних ознак;

, (10)

В більшості практичних задач, особливо при великому числі ознак, можна приймати умову незалежності ознак навіть при наявності суттєвих кореляційних зв’язків між ними.

Імовірність появи комплексу ознак К*

(11)

Узагальнена формула Байеса може бути записана

---------------- (12)

де P(K^* / D_i) визначається рівністю (9) або (10). З співвідношення (12) випливає

(13)

що, і повинно бути, так як один з діагнозів обов’язково реалізується, а реалізація одночасно двох діагнозів неможлива.

Потрібно звернути увагу на то, що знаменник формули Байеса для усіх діагнозів однаковий. Це дозволяє спочатку визначити імовірності спільної появи i-го діагнозу і даної реалізації комплексу ознак

(14)

и після апостеріорну імовірність діагноз

(15)

Для визначення імовірності діагнозів по методу Байеса необхідно скласти діагностичну матрицю (табл. 1), яка формується на основі завчасного статистичного матеріла. В цій таблице містяться імовірності розрядів ознак при різних діагнозах.

Таблиця 1

Діагностична матриця в методі Байеса

Якщо ознака і двох розрядні (прості ознаки «так – ні»), то в таблице достатньо вказати імовірність появи ознаки P(k_j / D_i).

Імовірність відсутності ознаки P (k_j / D_i) =1- P (k_j / D_i).

Однак більш зручно використовувати одно образну форму, наприклад, для двох розрядної ознаки P (k _j / D_i) = P (k _{j 1} / D_i);

P ( _j / D_i) = P (k _{j 2} / D_i).

Відмітимо, що , де m_j – число розрядів ознаки k_j.

Сума ймовірностей усіх можливих реалізації ознаки рівна одиниці.

В діагностичну матрицю включені апріорні імовірності діагнозів. Процес навчання в методі Байеса складається в формуванні діагностичної матриці. Важно передбачити можливість уточнення таблиці в процесі діагностики. Для цього в пам’яті ЭВМ потрібно зберігати не тільки значення P(k_js / D_i), але и існуючі величини: N – спільне число об’єктів, використаних для складання діагностичної матриці; N — число об’єктів с діагнозом D_i; N_ij – число об’єктів с діагнозом D_i, обстежених по ознаку k_j. Якщо поступає новий об’єкт с діагнозом D_μ, то проводиться корегування попередніх апріорних ймовірностей діагнозів наступним образом:

(16)

Далі вводяться поправки до ймовірностей ознак. Нехай у нового об’єкту с діагнозом D_μ виявлений розряд r ознаки k_j. Тоді для подальшої діагностики приймаються нові значення імовірності интервалів ознаки k_j при діагнозе D_μ:

(17)

Умовні імовірності ознак при других діагнозах корегування не потребують.

Приклад

Поясним метод Байеса. Нехай при спостереженні за газотурбінним двигуном перевіряється два ознаки: k₁ – підвищення температури газу за турбіною більш, чим на 50° С и k₂ - збільшення часу виходу на максимальну частоту обертання більш, чим на 5 с. Припустимо, що для даного типа двигунів поява цих ознак зв’язано або з несправністю паливного регулятора (стан D1), або с збільшенням радіального зазору в турбіні (стан D₂).

При нормальному стані двигуна (стан D₃) ознака k ₁, не спостерігається, а ознака k₂ спостерігається в 5% випадків. На основі статичних даних відомо, що80% двигунів виробляють ресурс в нормальному стані, 5% двигунів мають стан D₁ и 15% - стан D₂. Відомо також, що ознака k ₁ зустрічається при стані D₁ в 20%, а при стані D₂ в 40% випадків; ознака k₂ при стані D1 зустрічається в 30%, а при стані D₂ - в 50% випадків. Зведемо ці дані в діагностичну таблицю (табл. 2).

Знайдемо спочатку імовірності станів двигуна, коли виявлені дві ознаки k ₁ и k₂. Для цього, вважаючи ознаки незалежними, застосуємо формулу (12).

Імовірність стану

Аналогічно отримаємо P(D₂ /k ₁ k ₂ ) = 0,91; P(D₃ /k ₁ k₂) = 0.

Визначимо імовірність станів двигуна, якщо обстеження показало, що підвищення температури не спостерігається (ознака k₁ відсутня), але збільшується час виходу на максимальну частоту обертання (ознака k₂ спостерігається). Відсутність ознаки k₁ є ознака наявності (протилежна подія), причому P( / D_i) = 1- P(k ₁/ D_i). Для розрахунку приймають також формулу (12), но значення P( k ₁ /D)

в діагностичної таблице замінюють на P ( D_i). В цьому випадку

и аналогічно P( D₂ / ) =0,46; P(D₃ / )=0,41. Обчислимо імовірності станів в том випадку, коли дві ознаки відсутні. Аналогічно попередньому отримаємо:

P(D₂/ ) = 0,05; P(D₃ / ) = 0,92.

Відмітимо, що ймовірності станів D₁ и D₂ відрізняються от нуля, так як розглядаючи ознаки не являються для них детермінованими. З проведених розрахунків можна установить, що при наявності ознак k₁ и k₂ в двигуні с імовірністю 0,91 має стан D ₁, т. е. збільшення радіального зазору. При відсутності обох ознак найбільш імовірно нормальний стан (імовірність 0,92). При відсутності ознаки k ₁ н наявності ознаки k₂ імовірності станів D₁ и D₂ приблизно однаковий (0,46 и 0,41) и для уточнення стану двигуна потрібно проведення додаткових обстежень.

Таблиця 2