Курс тақырыбы: Көрсеткіштік, логарифмдік, дәрежелік функциялар

Сабақтың тақырыбы: Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі

Анықтама.

y=а^х, а>0, а≠1 (1)

формуласы арқылы берілген функцияны көрсеткіштік функция деп аталады.

Мұнда а саны көрсеткіштік функцияның негізі, ал тәуелсіз айнымалы х – дәреженің көрсеткіші.

Көрсеткіштік функциясының негізгі қасиеттері:

1) анықталу облысы – барлық оң нақты сандар жиыны, яғни x ϵ R;

2) мәндер жиыны – барлық оң нақты сандар жиыны, яғни y ϵ R;

3) негізі а>1 болғанда, функция – қатаң кемімелі функция;

өспелі, ал 0< а< 1 болғанда, функция – қатаң кемімелі функция;

4) барлық нақты сандар жиынында, яғни х ϵ R-де y =а^х(а >0, а≠1) функция үзіліссіз.

Көрсеткіштік функция үшін х және у -тің кез келгеннақты мәндерінде келесі теңдіктер орындалады:

a^х ∙ а^у ꞊а^х+у а^у ; ꞊ а^х-у; (ab) ^x ꞊ a^х ∙ b^x; ꞊ ; (а^х)^у꞊а^ху.

Бұл формулалар дәрежелеудің негізгі қасиеттері деп аталады.

Функцияның жоғарыда аталған қасиеттерін дәлелдейік.

Дәлелдеу.

1) негеізі а > 0 болғанда, х -тің кез келген мәні үшін а^x дәрежесін есептеуге болады. Олай болса, у꞊а^х функциясының анықталуы облысы – нақты сандар жиыны.

2) y=а^х а>0, а≠1функциясының мәні кез келген х нқты саны үшін оң сан. Демек, y=а^х функциясының мәндер жиыны барлық он нақты сандар жиыны болады.

3) Ox осінің бойынан кез келеген х₁ және х₂ (х₁ < х₂) нүктелерін (сандарын) алайық. Сонда осы екі нүктеге сәйкес келетін функция мына мәндерді қабылдайды: у₁ ꞊ а^х_1, у₂ ꞊а^х_2.

а>1 жағдайында кіші аргументке функцияның кіші мәні, үлкен аргументке функцияның үлкен мәні сәйкес болғандықтан, а^х₁< а^х_2.

Осы заңдылық функцияның анықталу облысының жиынындағы кез келген екі нүктесі үшін орындалады, Олай болса, y=а^х функциясы а>1 болғанда,қатаң өспелі функция.

Көрсеткіштік функцияның негізі 0 < a < 1 болғанда, жоғарыда айтылған заңдылық керісінше орындалады, кіші аргіментке функцияның үлкен мәні, үокен аргументке функцияның кіші мәні сәйкес болғандықтан, а^х₁ >а^х_2. Демек 0 < a < 1аралығында y=а^х функциясы – қатаң кемімелі функция.

Мысал ретінде y=3^х және у ꞊ функцияларының графиктерін қарастырайық.

I. y=3^х функциясының графигін салу үшін келесі кестені құрамыз:

Х	-3	-2	-1	0	1	2	3
y=3х				1	3	9	27

у

3

1

х

0 1

1-сурет

(-3; ),(-2; ),(-1; ), (0; 1), (1;3),(2;9), (3; 27) нүктелерін координаталық жазықтыққа түсіргеннен кейін, оларды қоссақ, y=3^х функциясының графигіналамыз (1-сурет)

Графигтен берілген функцияның қатаң өспелі функция екені көрініп тұр.

ІІ. y= фунуциясының графигін салу үшін келесі кестені құрамыз:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
y=	27	9	3	1

(-3;27), (-2;9), (-1;3), (0;1), (1; ), (2; ), (3; ) нүктелерін координаталық жазықтыққа түсіріп және оларды қоссақ, y= функциясының графигін аламыз (2-сурет)

у

2-сурет

3 _

y= _

1 _

1 x

Графигтен берілген функцияның анықталу облысында қатаң кемімелі екенін көреміз.

Енді y=а^х а>0, а≠1 функциясының графигін жалпы түрде берейік.

а>1 болғандағы y=а^х а>0, а≠1 функциясының графигі 3 – суретте, ал

0 < a < 1болғандағы – 4-суретте көрсетілген.

у у

y=а^х y=а^х

а>1 0 < a < 1

1 -- 1—

0 х 0 х

3 – сурет 4-сурет

y=3^х және y= көрсеткіштік функцияларының графиктерін бір координаталық жазықтаққа салайық (5-сурет).

у

y=3^х

3 --

-- y=

1—

суреттен аталған функциялардың графиктері Оу осіне қарағанда симметриялы екені көрініп тұр. Осыдан келесі тұжырымды аламыз: егер екі көрсеткіштік функцияның негіздері өзара кері сандар болса, онда ол функциялардың графиктері Оу осіне қарағанда симметриялы.

4) Көрсеткіштік функцияның үзіліссіздігі дәлелдейік y=а^х, а>0, а≠1 функциясы берілген. Аргумент х – ке ∆ х өсімше берейік, онда аргумент өсімшесіне сәйкес функция да өсімше қабылдайды:

∆ а^х+∆х - а^х ∙ а^∆х - а^{х =} а^х(а^∆х -1 ).

Енді осы өсімшенің ∆ х 0 ұмтылғандағы шегін анықтайық:

∆ у а^х ∙а⁰-1) ꞊0.

Аргументтің шексіз фз өсімшесіне функцияның да шексіз аз өсімшесі сәйкес келеді. Осы заңдылық y=а^х функциясы өзінің анықталу облысының кез келген нүктесінде үзіліссіз.

1- м ы с а л. y=5^х-1 +1 функциясының графигін салайық.

Шешуі. Алдымен y=5^х функциясының графигін салу керек.Ол үшін

а ꞊ 5>1 екенін ескеріп, 26,1-суреті бойынша барлық нақты сандар диынында өспелі функцияның графигін жүргіземіз. Одан кейін салынған графигі Ох осі бойымен бір бірлікке оң бағытта параллель көшіреміз. Шыққан графикті Оу осі бойымен бір бірлікке жоғары параллель көшіреміз (6-сурет).

2 – м ы с а л. 0,27⁴ және 0,27¹⁰ сандарын салыстырайық.

Шешуі. Берілген сандардың негізгідері бірдей және 0,27-ге тең. Осы негіздерді бір санымен салыстырамыз: 0,27 <1, бұл жағдайда көрсеткіштік функция кемімелі. Демек, кіші аргументке функцияның үлкен мәні сәйкес. Сондықтан 0,27⁴ >0,27¹⁰ .

Жауабы: 0,27⁴ >0,27¹⁰ .

3- м ы с а л. y=2^х және y=х² функцияларының графиктері неше нүктеде қиылысатынын анықтайық.

Шешуі. Ол үшін бір координаталық жазықтыққа y=2^х және y=х² функцияларының графигін саламыз. бірінші функция көрсеткіштік функция және негізі 1-ден үлкен. Демек y=2^х және y=х² функцияның графигі (0;1) нүктесі арқылы өтетін және -де өспелі қисық. Ал y=х² функциясының графигі төбесі (0;0) нүктесі болатын, тармақтары жоғары бағытталған парабола. Графигтер А және В нүктелерінде қиылысады (28-сурет).

Жауабы: екі нүктеде қиылысады.

у у

-- --

-- --

-- --

-- --

-- --

-- --

Жаттығулар

А

у ꞊ f(x) функциясының графигін салыңдар (150-151):

1. 1) f(x) ꞊5 ^х ; 2) f(x) ꞊1,5 ^х ;

3) f(x) ꞊0,85 ^х 4) f(x) ꞊ ^.

2. 1) f(x) ꞊ ; 2) f(x) ꞊ ;

3 ) f(x)꞊ ; 4) f(x) ꞊ 135 ^х.

3. у ꞊ f(x) функциясының мәндер жиынын табыңдар:

1) f(x) ꞊0,24 ^х + 3; 2) f(x) ꞊ - 2;

3) f(x) ꞊-7 ^х +1; 4) f(x) ꞊36 ^х -4.

4. Сандарды салыстырыңдар:

1) 1,8³ және 2³; 2) 0,8² және 0,54;

3) 0,5³ және 0,57⁷; 4) 3,2^1,6 және 3,2^1,7;

5) 0,2^√2 және 0,2^1,4 ; 6) 3^π және 3^3,149.

5. 1; 8; 32; 0,25; 0,0625 сандарын 2 санының дәрежересі ретінде жазыңдар.

6. Есептеңдер:

1) 4 ^{1 - 3√2} ∙ 64^{√2 – 1} ; 2)( ^√3)^√3;

3) 49^√7 : ; 4) + 1:36^√5 .

7. Ықшамдаңдар:

1) ∙ а ^√3+2 ; 2) (а^{√ 6}) ∙ (а ^√+1 : а ^√3);

3) b^3.5: (b √ b ³) 4) b ^√5 ∙ b ^1.4 : .

8. у ꞊ f(x) және у ꞊ g(x) функцияларының графиктері неше нүктеде қиылысатынын анықтаңдар:

1) f(x)꞊ 3^х және g(x)꞊ 3 ^х ; 2) f(x)꞊ және g(x)꞊х ² ;

3) f(x)꞊ 7 ^х және g(x) ꞊ ; 4) f(x)꞊ және g(x)꞊х ³ .

В

9. y=а^х функциясының графигіне қарапайым түрлендірулер қолданып,

у ꞊ g(x) функциясының графигін салыңдар:

1) g(x)꞊ - 2; 2) g(x)꞊ 4 ^х + 3;

3) g(x)꞊ (2,5) ^{х -1} + 2; 4) g(x)꞊ (2,25) ^{х +3} - 4.

10. у ꞊ f(x) функциясның мәндер жиынын табыңдар:

1) f(x)꞊ 4 ^х – 5,6; 2) f(x)꞊ (0,35) ^х + 3;

3) f(x)꞊ 1- 3 ^х.

11. Салыстырыңдар:

1) ((√3)^√2)^√2 және 3 ^1,5;

2) және 6^-2,25;

3) (7 - 4√3)^-3,5 және (7 - 4√3)^3,5;

4) (5+2√6)^3,3 және (5+2√6)^-3,1 .

13. у ꞊ g(x) функциясының ең үлкен және ең кіші мәндерін анықтаңдар:

1) g(x)꞊ 3 ^cosx; 2) g(x)= 2 ^sinx;

3) g(x)= ; 4) g(x)= 4 – 16 .

14. Егер:

1) b= 5 болса, онда ∙ ;

2) b꞊ 3 болса, онда ∙ ;

3) b꞊ 2 болса, онда ∙ ;

4) b꞊ 4 болса, онда ∙ өрнегінің мәнін табыңдар.

15. у ꞊ f(x) және у ꞊ g(x) функцияларының графиктері неше нүктеде қиылысатынын анықтаңдар:

1) f(x) ꞊ 5 ^х және g(x) ꞊6 – х;

2) f(x) ꞊ және g(x) ꞊3 – х;

3) f(x) ꞊ 2 ^х - 2 және g(x) ꞊1 – х;

4) f(x) ꞊ 3 ^х және g(x) ꞊ .

4.11