Функцияның нүктедегі (жергілікті) және аралықтағы үзіліссіздігі

Табиғаттағы байқалатын құбылыстардың басым көпшілігіне ортақ қасиет олардың үздіксіз өзгеретіндігінде. Мысалы, ауа температурасының өзгеруі, қыздырудың нәтижесінде сымның ұзаруы - үздіксіз өзгеретін құбылыстар.

Функцияның үзіліссіздігі оның шегімен тікелей байланысты ұғымдардың бірі. Сондықтан, математикада функцияның үзіліссіздік ұғымы шек ұғымдары арқылы беріледі.

Бізге аралығында анықталған функциясы берілсін. Айталық, нүктесі осы аралықтың нүктесі, яғни болсын. Бұл нүктеде анықталған, демек, нақты санға тең.

1-Анықтама. Егер кез келген оң саны бойынша саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х-тер үшін теңсіздігі орындалса, функциясын аралығының нүктесінде үздіксіз (үзіліссіз) функция деп атайды.

Шек таңбасын пайдаланып, бұл анықтаманы былай да айтуға болады.

2-Анықтама. Егер функциясының айнымалы х тұрақты санына ұмтылғандағы шегі оның нүктесіндегі мәніне тең, яғни болса, онда функциясын аралығының нүктесінде үзіліссіз функция деп атайды.

Егер болса, онда . Сондықтан теңдікті былай да жазуға болады: .

Бұдан біз үзіліссіз функциялар үшін функция таңбасы пен шек таңбасы екеуінің орындарын ауыстыруға болатындығын көреміз.

Айталық х нүктесі аралығының кез келген нүктесі болсын, яғни . Сонда айырмасын аргумент немесе тәуелсіз айнымалы х-тың нүктесіндегі өсімшесі дейді. Өсімше оң да, теріс те таңбалы бола береді және . Мына айырманы аргументтің өсімшесіне сәйкес функциясының (немесе тәуелді айнымалының) өсімшесі дейді. Яғни немесе . Берілген функциясының өсімшесі оң да, теріс те кейде нөлге де тең болуы мүмкін (23-сызба).

Осыларды ескеріп, 1-анықтамадағы теңсіздіктерді мына түрде жазуға болады:

,

бұдан .

Демек

(1)

Осыдан функциясының аралығының нүктесінде үзіліссіздігінің тағы да бір анықтамасы шығады.

3-Анықтама. Егер аргументтің нүктесіндегі өсімшесі нөлге ұмтылғанда функциясының оған сәйкес өсімшесі -та нөлге ұмтылса , функциясын нүктесінде үзіліссіз функция деп атайды.

Бұл анықтамадан үзіліссіз функция үшін аргументтің ақырсыз кішкене өсімшесіне сол нүктеде функцияның ақырсыз кішкене өсімшесі сәйкес келетінін көреміз (1).

Функцияның нүктедегі, немесе жергілікті үзіліссіздігінің берілген анықтамалары өзара эквивалентті анықтамалар. Осыған дейінгі анықтамалардың барлығы функцияның нүктедегі үздіксіздігінің анықтамалары. Енді функцияның аралықтағы үздіксіздігінің анықтамасын берейік.

Анықтама. Егер функциясы аралығының кез келген нүктесінде үзіліссіз болса, онда оны аралығында үзіліссіз функция деп атайды.

Берілген функциясының аралығындағы үзіліссіздігін зерттегенде оның аралығында жатқан барлық нүктелердегі үздіксіздігін зерттеп шығу мүмкін емес. Сондықтан функциясының аралығындағы үздіксіздігін зерттеу үшін х нүктесін аралығының кез келген нүктесі деп, оған өсімше береміз де, осы өсімшеге сәйкес функцияның өсімшесін тауып, одан -ты нөлге ұмтылдырып шек табамыз. Егер осы шек нөлге тең болса, онда функциясы аралығының кез келген нүктесінде, яғни аралығында үздіксіз функция болады.

Функцияның берілген нүктесіндегі үзіліссіздігінің анықтамаларының мағынасы болу үшін ол функция сол нүктесінің қандайда болмасын бір маңайында және нүктесінде анықталуы керек. Сонымен бірге функциясының шегі аргумент х-тың нүктесіне қалай ұмтылатындығына тәуелді болмауы керек. Бірақ бұл шарт барлық функциялар үшін бірдей орындала бермейтіндігі шектер теориясында айтылды. Олай болса, функцияның нүктедегі бір жақты шектерінің ұғымдарына байланысты оның берілген нүктедегі бір жақты үзіліссіздігі ұғымын енгізуге болады.

Анықтама. Егер функциясының нүктесіндегі сол жақ шегі оның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни теңдігі орындалса, функциясын нүктесінде сол жағынан үзіліссіз деп атайды.

Анықтама. Егер функциясының нүктесіндегі оң жақ шегі оның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни теңдігі орындалса, онда функциясын нүктесінде оң жағынан үзіліссіз деп атайды.

Осы анықтамалардан функциясының нүктедегі үзіліссіздігінің қажетті және жеткілікті шарты шығады.

Теорема. функциясы нүктесінде үзіліссіз болуы үшін оның осы нүктеде сол жағынанда, оң жағынанда үзіліссіз болуы қажет және жеткілікті. Яғни болса, функциясы нүктесінде үзіліссіз.

Анықтама. Егер функциясы аралығында үзіліссіз және нүктесінде оң жағынан, нүктесінде сол жағынан үзіліссіз болса, онда ол кесіндісінде үзіліссіз функция деп аталады.

Теорема. Егер функциясы сегментінде үзіліссіз монотонды өспелі немесе монотонды кемімелі болса, онда функциясының сегментінде қабылдайтын барлық мәндері өзінің құрамына кіретін сегментінде анықталған оған кері функциясы да үзіліссіз болады.

Теорема. Егер функциясы нүктесінде, ал нүктесінде үзіліссіз және болса, онда күрделі функциясы нүктесінде үзіліссіз функция болады.

Теорема. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол осы нүктенің қандайда бір маңайында да үзіліссіз функция болады.

Теорема. Егер және функциялары нүктесінде үзіліссіз болса, онда осы функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және қатынасы (бөліміндегі функция нүктесінде нөлге тең болмаса) да осы нүктесінде үзіліссіз болады.

Енді бірнеше мысалдар қарастырайық.

1-мысал. функциясының аргументі кез келген х мәнінен мәніне ауысқандағы өсімшесін табу керек.

Шешуі: . Ал

. Сонда

.

2-мысал. функциясының аргументі х-тан -қа ауысқандағы өсімшесін табу керек.

Шешуі:

.

3-мысал. функциясының кез келген х нүктесінде үзіліссіз екенін дәлелдеу керек.

Шешуі: Егер х -ке өсімшесін берсек, берілген функ-циясының жаңа нүктедегі мәні, яғни

тең болады. Сонда функцияның өсімшесі

.

Бұдан , яғни зерттеліп отырған функциясы барлық сан өсінде үзіліссіз.

4-мысал. функциясының кез келген х нүктесінде үзіліссіз екенін дәлелдеу керек.

Шешуі: Егер х –қа өсімшесін берсек, функцияның өсімшесі .

Бұдан , яғни функциясы кез келген нүктесінде үзіліссіз.

Енді функциялардың үздіксіздігін пайдаланып мына маңызы зор шектерді дәлелдейік:

(2)

(3)

( - кез келген нақты сан) (4.17.4)

Мына теңбе-теңдіктің оң жағындағы логарифм таңбасы астындағы тұрған өрнек нөльге ұмтылғанда санына ұмтылады, олай болса логарифмдік функцияның үзіліссіздігі бойынша бұл өрнек -ге ұмтылады, яғни

.

Бұдан дербес жағдайда .

Енді (3) формуланы дәлелдеу үшін десек, онда көрсеткіштік функцияның үздіксіздігінен да, -да 0-ге ұмтылады және .

Ендеше .

Ал дербес жағдайда .

Соңында (4) формуланы дәлелдеу үшін десек, онда дәрежелік функцияның үздіксіздігінен да . Енді теңдігінің екі жағын да логарифмдесек, . Сонда берілген өрнекті былай түрлендіруге болады:

.

Сонда

.