Курс тақырыбы: Теңдеу, теңсіздік, теңдеу мен теңсіздік жүйелері

Сабақтың тақырыбы: Теңсіздік. Теңсіздікті шешу. Теңсіздік қасиеттері.

a санының b санынан үлкен (кіші) екендігін көрсету үшін a>b (a<b) жазамыз.

Мысалдар.

5>2, 3>0, 7<9, 100<150, -2>-3

Үлкен >, кіші < белгілерімен қатар үлкен не тең ≥ және кіші не тең ≤ деген белгілері қолданылады.

a ≥ b (a ≤ b) деген белгілеуі a санының b санынан үлкен (кіші) не оған тең болуын көрсетеді.

>, <, ≥, ≤ белгілері теңсіздік белгілері деп аталады.

Өрнектің сол және оң жағы теңсіздік белгісімен байланысса онда бұндай өрнекті теңсіздік деп атаймыз.

Теңсіздіктердің қасиеттері:

1). a > b, c > d болса онда a+c > c+d.

Мысалы 7 > 5, 3 > 2 соңдықтан 7+3 > 5+2.

2). a ≥ b, c ≥ d болса онда a+c ≥ c+d.

3). a > b болса онда - a < -c.

Мысалы 2>1, -2<-1.

4). a ≥ b болса онда - a ≤ -c.

5). a > b болсын, k саны оң болса онда k · a > k · b, k саны теріс болса онда k · a < k · b.

Мысалы 3 > 2, 4 · 3 > 4 · 2, -4 · 3 < -4 · 2.

6). a ≥ b болсын, k саны оң болса онда k · a ≥ k · b, k саны теріс болса онда k · a ≤ k · b.

Келесі сабақтарда белгісізі бар теңсіздіктерді шешу жолдарын қарастырамыз. Мысалы 2x+1>3 типті теңсіздіктерін.

Конспект

(мұндағы х - айнымалы;а.в,с –сандар,

)түріндегі теңсіздіктер квадраттық теңсіздіктер деп аталады. Квадраттық теңсіздіктің шешімі деп квадраттық теңсіздікті қанағаттандыратын айнымалының барлық мәндерінің жиынын айтады.Оны шешудің үш түрлі тәсілін қарастырайық:

а)квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеп,әрбір көбейткіштің нөлге айналатын нүктелерін анықтап,осы нүктелер көмегімен сан осін бөліктерге бөліп және осы бөліктердің әрқайсысында көбейткіштердің таңбалары арқылы квадрат үшмүшенің таңбасын анықтау.Бұл тәсіл – аралықтар (интервалдар) әдісі деп аталады.

Ә) квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеп,көбейтіндінің оң (не теріс) болуы заңдылықтарын қолдану

б) квадрат үшмүше графигінің абсциссалар осіне қатысты орналасуын анықтап, оның оң және теріс бөліктерін көрнекі деңгейде анықтау.

Квадрат теңсіздіктерді шешу үшін:

I жағдай. 1) а>0 және D>0.

Квадраттық функцияның графиктері абсцисса осін х₁;х₂ нүктелерде қияды,парабола тармақтары жоғары бағытталған.

функциясы үшін түбірлерінің «сыртындағы» мәндер функциясы үшін түбірлерінің «арасындағы» мәндер алынады.

2) а<0 және D>0. Бұл жағдайда парабола тармақтары төмен бағытталады, жауап: теңсіздігі үшін х<х₁ және х>х₂; теңсіздігі үшін х₁ < х < х₂ болады.

I I жағдай. 1) а>0 және D=0.

Квадрат үшмүшенің екі бірдей түбірі бар:

теңсіздігі үшін шешімі болмайды; теңсіздігі үшін мәнінен басқа кез-келген мән болады.

2) а< 0 және D=0.

Бұл жағдайда парабола абсцисса осін нүктесінде жанайды,Ох осінен тармақтары төмен бағытталады,жауап: теңсіздігі үшін мәнінен басқа кез-келген мән болады; теңсіздігі үшін шешімі болмайды.

III Жағдай. 1) а>0 және D < 0.

Бұл жағдайда квадрат үшмүшенің нақты түбірлері жоқ және график Ох осінен жоғары орналасқан,яғни абсцисса осімен қиылыспайды. Сондықтан теңсіздігі х- тің кез-келген мәнінде орындалады,ал теңсіздігінің шешімі болмайды.

2) а < 0 және D < 0. Квадрат үшмүшенің нақты түбірлері жоқ және график Ох осінен төмен орналасқан,яғни абсцисса осімен қиылыспайды. теңсіздігі х- тің кез-келген мәнінде орындалады,ал теңсіздігінің шешімі болмайды.