Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Приведение пары квадратичных формРассмотрим задачу выбора базиса в котором пара квадратичных форм имеют диагональный вид. Не все пары квадратичных форм можно одновременно привести к диагональному виду, например, формы и xy привести нельзя. Первый способ Пусть даны квадратичные формы и , причем квадратичная форма - положительно определена. Тогда введем скалярное произведение и найдем ортонормированный базис, а затем приведем первую квадратичную форму к главным осям. Поскольку ортогональное преобразование не меняет скалярное произведение, то обе квадратичные формы будут приведены к каноническому виду. Пучок матриц Пусть даны квадратичные формы и . Рассмотрим пучок квадратичных форм . Если квадратичные формы и заменой координат x=Py приводятся к каноническому виду, то все формы из пучка приводятся к каноническому виду этой же заменой координат. Пусть и , тогда . Из последнего равенства выводим , то есть многочлен раскладывается на линейные множители над полем вещественных чисел. Из равенства выводим, что i -ый столбец матрицы P удовлетворяет однородной системе уравнений . Таким образом, получается следующий алгоритм приведения пары квадратичных форм к нормальному виду.
Для обоснования этого подхода требуется показать, что объединение линейно независимых систем векторов, соответствующих разным линейным множителям, образует линейно независимую систему. Доказательство проводится также как и для собственных векторов. Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты. Рассмотрим задачу упрощения уравнения квадрики с использованием ортогональным преобразованием системы координат. Отметим, что при ортогональной замене координат сохраняются метрические характеристики. Опишем алгоритм приведения квадрики к простейшему виду ортогональным преобразованием.
Оформим доказанное выше в виде теоремы. Теорема 9.2. Ортогональным преобразованием, сдвигом начала координат и умножением на ненулевое число уравнение квадрики приводится к одному из следующих четырех видов , , , . Обозначим через сумму всех главных миноров k -го порядка матрицы A. Величина является коэффициентом характеристического многочлена при . Пусть квадрика ортогональным преобразованием x = h + Ty приводится к виду , где , , . Поскольку T ортогональная матрица, то , и, значит, , где k= 1,…, n. Кроме того, , и, следовательно, . Тем самым установлен следующий факт. Свойство 9.1 При ортогональном преобразовании не меняются следующие величины , где k= 1,…, n, и , которые называются ортогональными инвариантами квадрики. К сожалению, ортогональные инварианты не всегда позволяют установить простейший тип квадрики. Свойство 9.2. Пусть и , тогда не меняется при ортогональном преобразовании. Доказательство. При ортогональном преобразовании (без сдвига) величины не меняются. Пусть квадратичная форма приводится к главным осям ортогональной заменой координат . Пусть - ортогональное преобразование квадрики. Поскольку , то для доказательства утверждения достаточно рассмотреть случай, когда - диагональная матрица и преобразование заключается в сдвиге на вектор h начала координат. Если , то . В этой матрице единственный минор k порядка, не содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига. Следовательно, утверждение в данном случае доказано. Пусть , тогда . В этой матрице единственный минор k порядка, не содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига. Следовательно, утверждение и в данном случае доказано. Величины называются полуинвариантами ортогонального преобразования. Набор инвариантов и полуинвариантов квадрики позволяет однозначно установить простейшее уравнение квадрики.
|