Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Самосопряженное преобразованиеЛинейное преобразование называется самосопряженным, если . Свойство 8.7. Собственные числа самосопряженного преобразования – вещественны. Доказательство. Пусть x –собственный вектор самосопряженного преобразования (т.е. ). Из равенств выводим , то есть . Следствие 8.2. Для самосопряженного линейного преобразования евклидова пространства существует ортонормированный базис из собственных векторов. Доказательство. Самосопряженное преобразование является нормальным, и значит, существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. Поскольку все собственные числа вещественные, то все блоки первого порядка. Полярное разложение Самосопряженное преобразование называется положительно определенным, если . Следствие 8.3. Все собственные числа положительно определенного самосопряженного линейного преобразования неотрицательны. Доказательство. Пусть , тогда , и, значит, . Теорема 8.3. (извлечение корня) Для положительно определенного самосопряженного линейного преобразования существует единственное положительно определенное самосопряженное преобразование , что . Доказательство. Пусть - ортонормированный базис линейного пространства, в котором матрица - диагональная. Пусть . Все числа стоящие на главной диагонали неотрицательны. Положим . Легко убедиться, что линейное преобразование является положительно определенным самосопряженным преобразованием и . Единственность очевидна. Теорема 8.4 (полярное разложение) Любое линейное преобразование можно представить в виде произведения самосопряженного положительно определенного линейного преобразования и ортогонального преобразования . Если - невырожденное, то представление единственно. Разложение называется правым, а разложение - левым. Доказательство. Преобразование является самосопряженным и положительно определенным. Построим ортонормированный базис преобразования , при этом расположим собственные векторы, соответствующие нулевому собственному значению в конце базиса. Пусть - собственные векторы с не нулевыми собственными значениями, а - собственные векторы с нулевым собственным значением. Матрица - диагональная, поэтому первые k строк матрицы образуют ортогональную систему, а остальные равны 0. Длина j строки равна . Обозначим через первые k строк матрицы и дополним ортонормированную систему векторов векторами до ортонормированного базиса всего пространства. Обозначим через ортогональное преобразование, матрица которого в базисе образована строками , а через - положительно определенное самосопряженное преобразование, матрица которого в базисе диагональная и равна . Легко убедиться, что . Для построения левого разложения достаточно найти правое разложение для сопряженного преобразования. Поскольку , то преобразование определяется единственным образом. Если преобразование - невырожденное, то преобразование невырожденное, и, значит, определяется единственным образом.
|