Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая

Пусть V – евклидово пространство со скалярным произведением (x, y), W – подпространство V.

Множество всех векторов x, ортогональных всем векторам из W, которое обозначим , называется ортогональным дополнением к подпространству W. Опишем свойства ортогонального дополнения.

Свойство 2.3. - линейное подпространство V.

Доказательство. Пусть , тогда справедливы равенства и . Из этих равенств выводим равенства и , то есть . Тем самым свойство доказано.

Свойство 2.4 .

Доказательство. Построим ортогональный базис подпространства W и дополним его до ортогонального базиса всего пространства V. Векторы ортогональны векторам , а, значит и любому вектору из W. Следовательно, векторы принадлежат ортогональному дополнению к W. Разложим произвольный вектор x по базису и положим , . Поскольку x = y + z и , , то установлено равенство .

Покажем, что сумма прямая. Пусть , тогда (x, x)=0 как скалярное произведение вектора из W на вектор из ортогонального дополнения к W. Единственный вектор нулевой длины равен 0, и, значит, пересечение содержит только нулевой вектор и сумма прямая.

Следствие 2.4 .

Доказательство вытекает из свойства прямой суммы подпространств.

Любой вектор x пространства V можно представить в виде суммы вектора y из подпространства W и вектора z из , причем векторы y и z определяются единственным образом. Вектор y называется ортогональной проекцией x на W и обозначается , а вектор z – ортогональной составляющей вектора x и обозначается . О способах построения ортогональной проекции и ортогональной составляющей будет разговор в п.2.6.

Свойство 2.5. .

Доказательство. Применив Следствие 2.4, получим . Пусть x – произвольный вектор из W. Поскольку для произвольного вектора скалярное произведение (x, y)=0, то . Тем самым показано включение , из которого, в силу совпадения размерностей, выводим равенство .

Пусть базис W. Вектор z принадлежит ортогональному дополнению к W тогда и только тогда, когда , , …, . Пусть базис пространства V. В координатах, эти равенства превращаются в систему линейных уравнений . Взяв в качестве W ортогональное дополнение к нему, получим следующее утверждение.

Свойство 2.6. Любое подпространство может быть задано системой линейных однородных уравнений.

В случае, если базис ортонормированный, коэффициентами при неизвестных в системе линейных уравнений являются координаты базисных векторов ортогонального дополнения.