Соотвествия между множествами и их элементами

Если элементы попарно сопоставляются с элементами и способ сопаставления определен, то между множествами А и В установлено соответствие. Множество определяет закон, по которому установлено соответствие, и называется графиком соответствия. В соответствии, определяемом тройкой множеств (A, B, Q), кортежи указывают пары сопоставляемых элементов.

Пример 1.13. При выдаче студентам заданий на курсовое проектирование имеем: А – множество студентов, В – множество составленных заданий. График определяет, какое задание необходимо выполнить каждому студенту (установлено соответствие).

Пример 1.14. Ведомость с результатами сдачи экзамена группой студентов представляет график соответствия , где А – обозначает множество студентов группы, а В – множество оценок.

В общем случае соответствие может устанавливаться не для всех элементов А и В.

Множество А называется областью отправления соответствия, а множество В – областью прибытия. Проекцию , состоящую из элементов , называют областью определения соответствия, а проекцию состоящую из элементов - областью значений соответствия. Если , то соответствие называют всюду определенным (в противном случае – частичным). В случае соответствие называют сюръективным.

Всюду определенное соответствие (X, Y, Q), при котором область определения соответствия совпадает с областью отправления, называется отображением X в Y и обозначается

(для ).

В общем случае элементу может ставиться в соответствие некоторое подмножество , называемое образом элемента x. Такое отображение называется многозначным. Так, например, англо-русский словарь дает многозначное отображение множества X включенных в него английских слов в множество Y русских слов. При однозначном отображении образом элемента является один определенный элемент .

В случае однозначного отображения график соответствия, обозначаемый f, не имеет кортежей с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами. Такое отображение

называют функцией. Элемент x из области определения называют аргументом, а образ элемента x в области значений – значением функции. При этом соответствие (X, Y, f) записывают в виде

.

Если область отправления Х является конечным множеством, то функция может быть представлена конечным списком пар в виде таблицы. Функция может быть задана формулой, выражающей вычислительную процедуру, которая по любому заданному значению аргумента х выдает соответствующее значение у. Если X и Y является множествами вещественных чисел, то график функции можно изобразить совокупностью точек на вещественной плоскости . Каждая точка соответствует определенному кортежу . Графическое представление множества f называется также графиком функции.

Областью отправления соответствия может быть упорядоченное множество Т моментов времени t. Тогда отображение f множества Т на множество вещественных чисел R

,

будет состоять из пар , где и , называемых мгновенными значениями функции. Совокупность мгновенных значений для всех называется функцией времени . Если t принимает любое значение в интервале , то называют функцией с непрерывным временем.

Иногда время можно рассматривать как бесконечное множество натуральных чисел . Тогда будет функцией с дискретным временем, и график соответствия ее будет представлять совокупность отсчетов в моменты времени n.

Частным случаем отображения является отображение множества самого в себя:

.

Отображение, заданные на одном множестве и определяемые парой , называется отношениями. Множество Х является областью задания отношения, а график отношения имеет вид

.

Поскольку каждое отдельно взятое отношение – упорядоченная пара – сопоставляет два элемента множества , такое отношение называют бинарным. Символически бинарные отношения между элементами x и y записывают в виде xГy.

Отношения могут обладать следующими свойствами:

- рефлексивностью - , [xГx];

- симметричностью - , [xГy→yГx];

- транзитивностью - , [xГy, yГz→xГz];

- тождественностью - , [xГy,yГx→x=y].

Бинарные отношения на конечном множестве могут быть записаны в виде матрицы размерностью , строки и столбцы которой соответствуют элементам множества Х. При наличии между элементами отношения на пересечении соответствующих строк и столбцов ставят 1, при отсутствии – 0.

Пример 1.15. Для множества групп крови отношение совместимости при переливании определяется графиком

.

Матрица отношения имеет вид:

Пример 1.16. На множестве натуральных чисел задано отношение xГy вида x имеет с y общий делитель отличный от единицы. Очевидно, что отношение между элементами будут обладать свойствами рефлексивности и симметричности. Матрицей отношений будет

.

Отношение называется полным, если высказывание

всегда истинно (то есть ), и пустым, если всегда ложно (). Полное отношение задается матрицей из одних единиц, а пустое – нулевой матрицей. Высказывание

, [xГy→x=y],

определяет отношение равенства. Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.

Отношение неравенства могут определять порядок расположения элементов множества. Различают отношения нестрогого порядка , обладающее свойствами:

- рефлексивности -

- тождественности -

- транзитивности -

Отношение строгого порядка характеризуется свойствами:

- антирефлексивности - x<x ложно;

- несимметричности - (x<y и y<x) ложно;

- транзитивности - (x<y и y<z) x<z.

Отметим, что на отношения переносятся операции над множествами – объединение, пересечения, разность.

Контрольные вопросы

1) Как вводится понятие функции при помощи множеств?

2) Как определяются области аргумента и значений функции?

3) Какое отображение называется отношением?

4) Как задаются бинарные отношения при помощи матриц?

5) Какие отношения называются эквивалентными?