Исследование сил гравитационного притяжения между неточечными телами

Задача:

Имеется кольцо известной массы m и радиуса R. Известно, что масса в кольце распределена равномерно. В оси, проходящей через диаметр кольца, но не в диаметре, лежит точечное тело массы М. Расстояние от данного тела до ближайшей точки кольца равно А.

Вычислите силу тяжести, действующей на тело со стороны кольца.

Метод решения данной задачи от любимого меня:

Представим кольцо как окружность. Для вычисления силы притяжения воспользуемся законом всемирного тяготения:

(формула приведена в каноническом виде!)

Главная проблема заключается в том, что кольцо нельзя представить как материальную точку, т.к. все частицы масс кольца находятся на разных расстояниях до тела. Запишем уравнение силы для точки dm на дуге и обозначим эту силу как dF:

L – расстояние от точки на кольце до тела на оси

dm – масса точки (крайне малая)

Каждой точке соответствует свое L. Запишем расстояние L для любой точки:

Выделим расстояние до центра кольца, оно будет равняться (A+R). Выделим угол между радиусом, соединяющим центр кольца с точкой на дуге, и отрезком (A+R). Согласно теореме косинусов:

При помощи данной функции можно будет найти расстояние до любой точки на кольце. Важно понимать, что диапазон от 0 до 2П включает в себя все возможные точки окружности.

Тогда силу тяготения точки на дуге кольца можно представить следующим образом:

Очевидно, чтобы найти силу, действующую со стороны кольца на тело, нужно сложить векторы сил со стороны всех точек dm. Из того, что ось, в которой находится тело, лежит на диаметре, следует некая симметрия сил. Действительно, любой силе, лежащей по одну сторону оси под углом к ней, соответствует такая же по модулю сила по другую сторону оси под углом - к ней:

Видим, что равнодействующая пары таких сил всегда направлена по оси, в которой лежит тело М. Понятно, что равнодействующая сил всех точек тоже будет лежать в этой оси, т.к. проекции всех сил на ось, перпендикулярной данной (на рисунке это ось Y), будут взаимно уничтожаться. Поэтому достаточно по модулю сложить проекции всех сил на ось Х, чтобы найти равнодействующую силу.

Выразим для любой dF её проекцию на ось Х (dFx):

Очевидно, что dF лежит в L. Отметим расстояние между dm и M точками Т и О. Опустим с точки Т нормаль на рассматриваемую ось. Обозначим точку Р пересечения этой нормали с осью.

Расстояние PO будет равняться (A+R)±h в зависимости от угла α (например, если -π/2≤α ≤π/2, то абсолютную величину h необходимо вычитать).

Выразим h:

Запишем расстояние PO:

Вычитание необходимо потому что например при -π/2≤α ≤π/2 косинус (а значит и h) даст положительное значение, но расстояние от О до Т станет меньше (А+R) на h, поэтому эти величины нужно вычитать, а не складывать. Аналогичная ситуация и с отрицательными значениями косинуса.

Все это нужно было для того, чтобы выразить dFx через подобие треугольников:

Чтобы найти равнодействующую силу, нужно просуммировать множество данных проекций всех возможных углов, лежащих от 0 до 2π. Этот результат можно получить, проинтегрировав данную функцию по dα с границами от 0 до 2π. Выразим dα из dm:

Чтобы выразить любую массу Δm, содержащуюся в данном угле α, нужно взять произведение данного угла α на угловую плотность:

– угловая плотность, количество массы в единице угла.

Запишем данное уравнение для бесконечно малой массы dm:

Подставим данное значение dm в полученное нами уравнение силы, создаваемой произвольной точкой:

Эта функция пригодна для интегрирования от 0 до 2π. Результатом интегрирования будет сумма всех проекций сил на ось Х, или же результирующая сила: (dFx – это функция, не дифференциал!)

Из-за трудностей интегрирования данной функции, автор решения оставляет последнее выражение в качестве ответа.