Множество значений показательной функции

Подстановка чисел , в формулу (2.2) дает

, ,

то есть среди значений этой функции оказываются и отрицательные и мнимые числа. Очевидно, что всегда , так как , то есть нуль в число значений показательной функции не входит. Это не удивительно, поскольку вещественная показательная функция вообще принимает только строго положительные значения. Более поразительным оказывается то, что комплексная показательная функция принимает все неравные нулю значения. Иными словами, уравнение

(2.5)

имеет решение при любом . Для решения рассмотрим в тригонометрической форме . Тогда

,

поэтому

и

для некоторого целого . Значит уже найдено, а . Таким образом решение уравнения (2.5) имеет вид , где - любое целое число.

С другой стороны решение этого уравнения естественно назвать комплексным логарифмом. Комплексный логарифм будет обозначать через . Следовательно,

Таким образом комплексный логарифм существует для любых неравных нулю комплексных чисел, в том числе и для отрицательных. Правда, эта дополнительная возможность несколько омрачается тем, что у любого числа определено бесконечно много различных комплексных логарифмов.