Нечеткие высказывания

Определение 4.2. Нечетким высказыванием называется высказывание , степень истинности которого m() можно оценить числом из интервала [0, 1], m() Î [0, 1]. Если m() = 0,5, то высказывание называется индиффирентным.

Определение 4.3. Нечеткой высказывательной переменной называется нечеткое высказывапние , степень истинности которого может меняться в интервале [0, 1].

Так как степень истинности нечеткого высказывания не связана с сутью высказывания, будем в дальнейшем отождествлять нечеткое высказывание с его степенью истинности аналогично тому, как обычное четкое высказывание отождествлялось с его истинностью или ложностью (см. п. 1. 1). Нечеткие высказывания и степень их истинности будем обозначать большими буквами с тильдой:: , , , и т. д.

На множестве нечетких высказываний вводятся логические операции, аналогичные операциям алгебры высказываний.

1. Отрицание нечеткого высказывания:

Ø = 1 – . (4.1)

2. Конъюнкция нечетких высказываний:

& = min (, ). (4.2)

3. Дизъюнкция нечетких высказываний:

Ú = max (, ). (4.3)

4. Импликация нечетких высказываний:

É = max (1 – , ). (4.4)

5. Эквивалентность нечетких высказываний:

~ = min (max (1 – , ), max (, 1 – )). (4.5)

Старшинство операций принято в поядке1) – 5).

Пример 4.5.

Найти степень истинности высказывания

= ( Ú ) ~ ( É ( & )) при = 0,8; = 0,3.

Порядок действий определяется старшинством операций и скобками.

1. & = min (0,8; 0,3) = 0,3.

2. ( É ( & ) = max (1 – 0,8; 0,3) = 0,3.

3. Ú = max (0,8; 0,3) = 0,8.

4. = min (max (1 – 0,8; 0,3), max (0,8; 1 – 0,3)) = min (0,3; 0,8) = 0,3.

Множество нечетких высказываний вместе с введенными на них операциями образуют алгебру нечетких высказываний.

Определение 4.4. Нечеткой логической формулой называется:

а) любая нечеткая высказывательная переменная;

б) если и – нечеткие логические формулы, то Ø , & , Ú , É , ~ – тоже нечеткие логические формулы.

Определение 4.5. Пусть ( ₁, ₂, …, _n) и ( ₁, ₂, …, _n) – две нечеткие логические формулы. Степенью равносильности формул и называется величина

m(, ) = { (a₁, a₂, …,a _n) ~ (a₁, a₂, …,a _n)} (4.6)

Здесь логические операции конъюнкции и эквивалентности имеют смысл, определенный выше для логических операций над нечеткими высказываниями, причем конъюнкция берется по всем наборам степеней истинности (a₁, a₂, …,a _n) нечетких переменных ( ₁, ₂, …, _n).

Множество всех наборов степеней истинности (a₁, a₂, …,a _n) нечетких переменных ( ₁, ₂, …, _n) назовем полной областью определения Cⁿ. Очевидно, что множество Cⁿ имеет мощность континнуума в отличие от двузначной логики высказываний, где число всех наборов переменнх конечно и равно 2 ⁿ.

Если m(, ) = 0,5, то нечеткие формулы и называются индиффирентными.

Если m(, ) > 0,5, то нечеткие формулы и называются нечетко равносильными.

Если m(, ) < 0,5, то нечеткие формулы и называются нечетко неравносильными..

Определение 4.6. Степенью неравносильности формул и называется величина

(, ) = 1 – m(, ).

Пример 4.6

Определить степень равносильности формул.

= É , = Ø( & ) при условии, что и прнимают значения степеней истинности из множества {0,1; 0,2}. Перечислим все возможные наборы значений и :

A ₁ = {0,1; 0,1}; A ₂ = {0,1; 0,2}; A ₃ = {0,2; 0,1}; A ₄ = {0,2; 0,2}.

Запишем формулы и с учетом (4.1), (4.2), (4.4):

= É = max (1 – , ); = Ø( & ) = 1 – & = 1 – min (, ).

Вычислим формулы и на каждом из четырех наборов A ₁ – A ₄:

₁ = max (1 – 0,1; 0.1) = 0,9.

₂ = max (1 – 0,1; 0,2) = 0,9.

₃ = max (1 – 0,2; 0,1) = 0,8.

₄ = max (1 – 0,2; 0,2) = 0,8.

₁ = 1 – min (0,1; 0.1) = 0,9.

₂ = 1 – min (0,1; 0,2) = 0,9.

₃ = 1 – min (0,2; 0,1) = 0,9.

₄ = 1 – min (0,2; 0,2) = 0,8.

Вычислим теперь степень равносильности формул и в соответствии с (4.6):

Для этого сначала вычислим (a₁, a₂, …,a _n) ~ (a₁, a₂, …,a _n)} для всех наборов A ₁ – A ₄:

В соответствии с (4.5) имеем

~ = min (max (1 – , ), max (, 1 – )).

Поэтому

₁ ~ ₁ = min (max (1 – 0,9;0,9), max (0,9; 1 –0,9)) = 0,9.

₂ ~ ₂ = min (max (1 – 0,9;0,9), max (0,9; 1 –0,9)) = 0,9.

₃ ~ ₃ = min (max (1 – 0,8;0,9), max (0,8; 1 –0,9)) = 0,8.

₄ ~ ₄ = min (max (1 – 0,8;0,8), max (0,8; 1 –0,8)) = 0,8.

Окончательно по (4.6) получим

m(, ) = { (a₁, a₂, …,a _n) ~ (a₁, a₂, …,a _n)} = 0,9&0,9&0,8&0,8 = min (0,9; 0,9; 0,8; 0,8) = 0,8.

Формулы и нечетко равносильны.

На других наборах степеней истинности нечетких переменных и формулы и могут быть нечетко неравносильны.

Определение 4.7. Пусть ( ₁, ₂, …, _n) и ( ₁, ₂, …, _n) – две нечеткие логические формулы, рассмотренные на некотором множестве M изменения нечетких переменных ₁, ₂, …, _n. Областью нечеткой равносильности формул и называется подмножество множества M, на котором формулы и нечетко равносильны.

Пример 4.7.

Вернемся к примеру 4.7. Для этого примера множество M состоит из девяти наборов:

M = {{0,1; 0,1}; {0,1; 0,2}; {0,2; 0,1}; {0,2; 0,2}}.

На каждом наборе формулы и нечетко равносильны, так как m(, ) > 0,5. Поэтому областью нечеткой равносильности будет все множество M.

Определение 4.8. Если формула ( ₁, ₂, …, _n) на всех наборах переменных ₁, ₂, …, _n из некоторого множества M имеет степень истинности большую или равную 0,5, то она будет на нем нечетко истинной. Обозначается это так: = .

Определение 4.9. Если формула ( ₁, ₂, …, _n) на всех наборах переменных ₁, ₂, …, _n из некоторого множества M имеет степень истинности меньшую или равную 0,5, то она будет на нем нечетко ложной. Обозначается это так: = .

Пример 4.8.

Покажем, что Ú Ø = и & Ø = для всех значений нечеткой переменной :

0 £ £ 1.

Учитывая (4,1), (4.2), (4. 3), имеем

Ú Ø = max (, Ø ) = max (, 1 – ) ³ 0,5.

& Ø = min (, Ø ) = min (, 1 – ) £ 0,5.