Нечеткие множества

В 1965 году американский математик Лотфи Заде (L. Zade) опубликовал статью “Нечеткие множества” (“ Fuzzy sets ”). Было дано новое определение понятия множества, предназначенное для описания сложных плохо определенных систем, в которых наряду с количественными данными присутствуют неоднозначные, субъективные, качественные данные

Понятие множества лежит в основе всех математических конструкций, и статья Заде породила новое научное направление. Произошло “раздвоение” математики, появились нечеткие функции, нечеткие отношения, нечеткие уравнения, нечеткая логика и т. д. Эти понятия широко используются в экспертных системах, системах искусственного интеллекта. Изложим основные понятия нечетких множеств.

Определение 4.1. Нечетким множеством на множестве X назовем пару (X, m_A), где m_A (x) – функция, каждое значение которой m_A (x) Î [0, 1] интерпретируется как степень принадлежности точки x Î X множеству . Функция m_A – называется функцией принадлежности множества .

Для обычного четкого множества A можно положить

m_A (x) =

Таким образом, обычное множество является частным случаем нечеткого множества.

Функцию принадлежности, как и всякую функцию, можно задавать таблично или аналитически.

Пример 4.1.

Приведем пример нечеткого множества , которое формализует понятие "несколько", ясного лишь на интуитивном уровне.

Пусть X = {1, 2, 3, …, n,…} – множество натуральных чисел, а функция m_A (x) задана таблицей:

Аналогично можно ввести понятия "много", "мало", "около 100", "почти 20", и т.д.

Переменные, значениями которых являются нечеткие множества, называются лингвистическими. Это основной тип переменных в языке людей.

Пример 4.2.

Пусть X = (0, ¥) – множество положительных чисел, а функция m_A (x) задана формулой:

m_A (x) =

График этой функции изображен на рис. 4.1.

Рис. 4.1

Если переменную x интерпретировать как возраст, то нечеткое множество соответствует понятию "старый". Аналогично можно ввести понятия "молодой", "средних лет" и т. д.

Пример 4.3.

Переменная "расстояние" принимает обычно числовые значения. Однако в предложениях естественного языка она может фигурировать как лингвистическая со значениями: "малое", "большое", "среднее", "около 5 км" и т. д. Каждое значение описывается нечетким множеством. Пусть речь идет о поездках на такси по городу. В качестве универсального множества X можно взять отрезок [0, 100] км и задать функцию принадлежности значений так, как показано на рис. 4.2.

Рис.4.2