Уравнение касательной и нормали к кривой

Если точка касания М имеет координаты (x₀;y₀), то угловой коэффициент касательной есть k=f’(x₀). пользуясь ур-ем прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении (y-y₀=k(x-x₀)), можно написать уравнение касательной: y-y₀=f’(x₀)*(x-x₀). Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, наз-ся нормалью к кривой. Ур-е нормали имеет вид y-y₀=-1/f’(x₀)*(x-x₀), (если f’(x₀)≠0).

23. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-ии.

Если ф-ия дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Утверждение, обратное этой теореме, неверно: из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость в этой точке. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие в этой точке производной. Примером такой функции служит функция: y=|X|=

24. Производная суммы, разности, произведения, и частного ф-ий. Производная суммы (разности) двух ф-ий равна сумме(разности) производных этих ф-ий:

Производная произведения 2-х ф-ий равна произведению производной 1-го сомножителя на второй плюс произведение 1-го сомножителя на производную второго:

Производная частного 2-х ф-ий u(x)/v(x), если v(x)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: ,v≠0

25. Производная сложной и обратной ф-ий. Если ф-ия u=α(x) имеет производную u_x’ в точке х, а ф-ия y=f(u) имеет y_u’ в соответствующей точке u=α(x), то сложная ф-ия y=f(α(x)) имеет производную y_x’ в точке х, кот. Нах-ся по фор-ле y_x’=y_u’u_x’. Для нахождения производной сложной ф-ии надо производную данной ф-ии по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Теорема: Если ф-ия y=f(x) строго монотонна на интервале (а;в) имеет неравную 0 производную f’(x) произвольной точке этого интервала, то обратная ей ф-ия x=α(y) также имеет производную α’(Y) в соответствующей точке, определяемую равенством α’(y)=1/f’(x) или x_y’=1/y_x’. Производная обратной ф-ии равна обратной величине производной данной ф-ии.