Методы перевода дробей

Лабораторная работа № 2

Проверил Мартемьянов Б.В.

Выполнил студент группы к4136(ИТМО) Куленко Е.А.

Самара 2015

Цель работы: формирование обобщенного понимания основ арифметики на основе разработки программного обеспечения с элементами компьютерных обучающих систем.

Краткая теория:

Постановка задачи перевода чисел

Все методы перевода вытекают из соответствия изображения числа в виде (2.1) многочлену в виде (2.2): Пусть А - неотрицательное число. Тогда в СС по основанию b это число задается следующим изображением:

А =(anan-1... a2 a1a0. a-1a-2... a-m)b (2.1)

Число А и его изображение в виде (2.1) связаны следующим многочленом:

A = ∑ aibi = anbn +... + a1b1 + a0b0 + a-1b-1 +...+ a-mb-m (2.2)

Методы перевода целых чисел

Метод 1. Метод деления на основание «новой» СС (на B).

Ai = A_i+1B+a_i, для i ≥ 0, при этом A = A₀ = A₁B+a₀.

x div y - операция целочисленного деления, дает в качестве результата целую часть от x/y;

x mod y - операция вычисления остатка, полученного при целочисленном делении x на y. Для всех i:

a_i = A_i mod B; (2.3)

A_i+1 = A_i div B. (2.4)

Алгоритм:

Последовательность искомых цифр находится как последовательность остатков от целочисленного деления.

1. i:= 0; a0:= 0

2. Если A = 0, то перейти к 7.

3. ai:= A mod B.

4. A:= A div B.

5. i:= i + 1.

6. Перейти к 2.

7. Конец алгоритма.

Метод 2. Метод вычисления значения многочлена

Метод следует из представления исходного числа в виде многочлена:

A = ∑ aibi = anbn +... + a1b1 + a0b0 + a-1b-1 +...+ a-mb-m (2.5)

Алгоритм:

Если все цифры от an до a-m и число b, входящие в (2.5), представить в B-ичной СС, затем выполнить все действия, необходимые для вычисления многочлена, пользуясь правилами B-ичной арифметики, то результат даст искомое изображение числа A в B-ичной СС.

Методы перевода дробей

Метод 1. Метод умножения на основание «новой» СС.

Искомое изображение числа находится последовательно цифра за цифрой. При вычислениях используется арифметика основания b. Будем считать, что данное число

0 < А < 1. Запишем искомое представление данного числа:

А = (0. a_-1a_-2...a_-m)_B. (2.6)

Вычислим произведение А*B, изображение которого будет иметь вид

А*B=(a_-1.a_-2...a_-m)_B=a_-1+A₁, (2.7)

где a_-1 – цифра, задающая целую часть произведения; A₁=(0.a_-2...a_-m)_B.

Алгоритм:

Поскольку А < 1, то начало искомого изображения предопределено. Это “0.”.

int(A) - целая часть числа A;

frac(A) - дробная часть числа A;

m - максимальное количество искомых цифр дробной части.

1. i:= 1; a-i:= 0.

2. Если A = 0, то перейти к 8.

3. A:= A*B.

4. a_-i:= int(A) (очередная цифра равна целой части произведения).

5. A:= frac(A) (выделяется дробная часть произведения).

6. i:= i + 1.

7. Если i ≤ m, то перейти к 2.

8. Конец алгоритма.