Решение задач интерполяции

Планирование эксперимента для получения полинома первой степени

Если цель исследования формулируется как решение задачи интерполяции, то сначала необходимо выбрать факторы, отклик и вид модели. Они выбираются на основе априорной (известной до эксперимента) информации.

Конечно, эксперименты при исследовании и доводке авиационных двигателей почти никогда не приходится начинать, ничего не зная о закономерностях изучаемых процессов. Опыт ранее проведенных аналогичных исследований и аналитические (теоретические) модели обычно позволяют уже заранее представить факторы, отклики и, по крайней мере, качественно зависимости между ними. Эта априорная информация должна быть тщательно проанализирована.

Особенно внимательно следует оценивать полноту совокупности факторов. Если будут не учтены такие факторы, которые заметно влияют на величину отклика, т.е. изменяют его на тот же порядок, что и выбранные факторы, то все усилия экспериментатора достигнуть цели могут оказаться бесплодными.

Имея в виду, что уменьшение числа факторов даже на единицу может сократить объем эксперимента иногда вдвое, желательно уменьшить число первоначально выбранных факторов переходом к безразмерным (или критериальным) параметрам. Например, вместо скорости и температуры потока в лопаточных и струйных машинах следует использовать числа М или X; вместо расходов воздуха и топлива в камерах сгорания - коэффициент избытка воздуха; вместо давления на входе в объект и на выходе из него можно использовать отношение давлений и др. Значения тяги, расхода воздуха, частоты вращения, приведенные к стандартным атмосферным условиям, позволяют исключить из рассмотрения изменения (во всяком случае небольшие) параметров воздуха на входе в двигатель или в его элементы.

При оценке вида модели большую помощь могут оказал» результата похожих прежних экспериментов, представленные в виде графической или аналитической зависимости. По ним сразу видно, можно ли аппроксимировать результаты эксперимента линейным уравнением (и в какой области факторного пространства) или следует сразу ориентироваться на более сложную, например квадратичную, модель: нет ли в зависимостях особенностей, например разрывов или негладкости (резкого изменения хода кривых), что сразу указывает на целесообразность разбиения факторного пространства на отдельные части. Если нелинейность зависимостей явно выражена, то следует попытаться путем простейших преобразований отклика свести функцию к линейной. Так, гиперболическая зависимость превращается в линейную путем перехода к обратной величине отклика, а степенные зависимости типа у=Ах₁ⁿх₂^mх₃^k преобразуются в линейную путем логарифмирования.

Далее необходимо выбрать план эксперимента - число опытов и сочетания значений факторов в них. Если выбрана структура модели, то число опытов, должно равняться в простейшем случае числу неизвестных коэффициентов регрессии.

Для выбора сочетания (набора) экспериментальных точек, реализованных в опытах (дающих возможность составить N линейных уравнений), очевидно единственное математическое требование, сводящееся к тому, чтобы уравнения, полученные при подстановке значений у и x_i в выбранный полином, должны быть линейно независимыми. А именно: ни одно из уравнений не должно получаться в результате алгебраических действий с другими уравнениями системы. Если это требование нарушается, то определитель системы из N линейных уравнений окажется равным нулю и коэффициенты b_i найти не удастся.

С другой стороны, неизбежная случайная погрешность измерения отклика также позволяет указать на неравноценность наборов экспериментальных значений факторов (плана эксперимента).

Теория планирования эксперимента предлагает для любого числа факторов такое размещение точек плана в факторном пространстве, которое позволяет получить наивысшую точность итогового результата, какая только возможна в данном объеме опытов при заданной точности измерений. Подобный план называется максимально информативным.

Для простоты и наглядности последующих рассуждений предположим, что решается задача интерполяции для двух факторов: X₁ и X₂ (такое их обозначение означает, что речь идет о натуральных в размерностях физических величин значениях факторов). На рис. 3.3 показана решаемая задача. По горизонтальным осям расположены факторы и отмечены их минимальные, максимальные и средние значения для данного планируемого эксперимента. Факторное пространство представляется здесь плоскостью Х₁ОХ₂, а заштрихованная площадка - областью эксперимента: реально возможными и необходимыми в данной задаче пределами изменений факторов. По вертикальной оси откладывается отклик, совокупность значений которого образует поверхность отклика. Она в общем случае криволинейна, однако для первого приближения достаточно описания поверхности отклика у=f(X₁, X₂) полиномом первого порядка.

Следующий этап работы при планировании эксперимента заключается в несложном преобразовании факторов (и, следовательно, области эксперимента), называемом нормированием (или кодированием). Это позволяет достичь максимальной общности подхода к выбору оптимального плана эксперимента, упростить запись условий опытов и их обработку, а также объединить в уравнении регрессии факторы разной размерности.

Минимальное значение фактора (X₁^min и X₂^max) в области эксперимента называется нижним уровнем, а максимальное (X₁^max и X₂^min) - верхним. Среднее значение каждого фактора ( и )

Рис. 3.3. Изображение поверхности отклика:

а - поверхность отклика у=f(X₁, X₂) в трехмерном пространстве; б - проекция сечений поверхности отклика в факторном пространстве (у₁, у₂, у₃, … - линии равного отклика); в - нормированное факторное пространство

называется основным (нулевым, средним) уровнем фактора. Точка , называется центром эксперимента, или центром плана.

Интервалом варьирования J₁ фактора X₁ называется число, сложение которого с основным уровнем дает верхний X₁^max, а вычитание - нижний уровень фактора X₁^min (см. рис. 3.3, б):

Таким образом, при решении задачи интерполяции интервал варьирования в простейшем случае равен половине области определения фактора.

Нормирование факторов заключается в том, что масштабы по осям х_i (i=1, 2,..., k) и начало отсчета выбирают так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний -1, а основной - нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это можно сделать с помощью преобразования

, (3.3)

где х_i - нормированное (безразмерное) значение фактора.

Таблица 3.1

Смысл проведенного преобразования факторов очевиден: прямоугольная область эксперимента, неодинаковая в различных задачах (см. рис. 3.3, б), превращается для любого эксперимента в квадрат со стороной, равной двум, и центром в начале координат (см. рис. 3.3, в).

Далее во всем изложении будем пользоваться практически только преобразованными указанным образом безразмерными кодированными значениями факторов, обозначаемыми х_i (i=1, 2,..., k).

Очевидно, что для получения линейной зависимости отклика у от факторов х₁ и х₂ каждому из них надо задать, по крайней мере, два значения. Таким образом, минимально возможное число опытов равно четырем. Учитывая всегда присутствующие погрешности измерений и помня о «хороших» точках (см. рис. 3.2), будем стремиться к максимально возможному удалению точек одна от другой. Поэтому факторы целесообразно варьировать на границах их области определения (т.е. устанавливать на верхнем и нижнем уровнях). В однофакторном эксперименте, зафиксировав фактор, например х₂, на нулевом уровне (соображения симметрии являются для этого веским основанием, так как решаем задачу интерполяции), устанавливаем фактор х₁ на верхний и нижний уровни и измеряем у₁(+1; 0) и у₂ (-1; 0) (табл. 3.1) - план однофакторного эксперимента.

Затем определяем y₃ (0; +1) и y₄ (0; -1).

Полученных данных достаточно для решения задачи интерполяции -получения уравнения

у=b₀+ b₁x₁+ b₂x₂. (3.4)

Значения коэффициентов определяются решением системы двух уравнений, например, для b₁

y₁=b₀+b₁; y₂=b₀-b₁, откуда

b₁=0,5(y₁-y₂), b₀=0,5(y₁+y₂). (3.5)

Аналогично b₂=(y₃-y₄)/2; b₀=0,5(y₃+y₄)/2.

Определим дисперсию s_b², с которой определены коэффициенты регрессии по однофакторному плану (см. табл. 3.1). Вспомним, что дисперсия алгебраической суммы случайных величин равна сумме их дисперсий. Поэтому . Таким образом, . Свободный член b₀ - значение отклика в центре плана - лучше определить как среднее из четырех опытов (ясно, что это уменьшит погрешность): (y₁+y₂+y₃+y₄)/4=b₀. На рис. 3.3, в точками на серединах сторон квадрата показаны однофакторные опыты (зачерненные кружки) - геометрический аналог табл. 3.1.

Кружками в вершинах квадрата показано расположение точек многофакторного плана (см. табл. 3.2). Видно, что в каждом из четырех опытов оба фактора изменяются и не равны нулю. В табл. 3.2 показан многофакторный план полного факторного эксперимента или, план первого, порядка, обозначаемый 2².

В этом обозначении показатель степени - число факторов, основание - число уровней, на которых варьируются факторы в эксперименте. Двойка в основании является признаком линейного плана (плана первого порядка), позволяющего получить полиномы первой степени. Для получения полиномов более высокой степени двух уровней, очевидно, недостаточно. Обозначение 2², понимаемое математически буквально, дает общее число опытов, равное в этом случае четырем.

На рис. 3.3, в и в табл. 3.2 представлен самый простой план двухфакторного эксперимента - полный факторный эксперимент (ПФЭ), в котором реализуются все возможные симметричные сочетания уровней факторов равное число раз. В прикладных

Таблица 3.2

работах двигателестроения ПФЭ используется при двух - четырех факторах. Если число уровней каждого i-го (i= 1, 2,..., k) фактора равно двум, то считают, что реализуется полный факторный эксперимент типа 2^k. В теории эксперимента известны и другие, помимо ПФЭ, планы многофакторного эксперимента.

Рассматривая столбцы плана (табл. 3.2 и 3.3) можно убедиться, что они симметричны относительно центра эксперимента: алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равняется нулю, или , где j= 1, 2, 3..., k - номер фактора, N - число опытов.

Второе свойство называется нормированностью плана эксперимента и выражается условием, справедливым для каждого из столбцов: . Оно обусловлено тем, что так как х_ju=±1, то сумма их квадратов в каждом столбце равна числу опытов. Первые два свойства ПФЭ позволяют проверять безошибочность плана экспериментов.

Третье свойство выбранных планов называется ортогональностью, выражается условием (j¹i; j, i = 0, 1, 2,..., k) и означает, что сумма построчных произведений двух любых различных столбцов плана равна нулю или что в плане эксперимента отсутствуют идентичные (одинаковые) столбцы. Это свойство, как убедимся ниже, позволит определить влияние каждого из факторов х_i, в отдельности на отклик, т.е. коэффициенты b_i, будут независимы друг от друга.

Четвертое свойство плана ПФЭ типа 2^k называется ротатабельностью и заключается в том, что точки плана подбираются так, чтобы точность предсказания уравнением регрессии значения отклика была одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависела от направления. Это означает, что все b_i найдены с одинаковой точностью.

Перейдем к плану полного факторного эксперимента для трех факторов – х₁, х₂ и х₃. Условное обозначение плана - 2³ и, следовательно, он состоит из N=2³=8 опытов, в которых должны встречаться все возможные сочетания трех предельных (нижнего или верхнего) уровней всех факторов. План ПФЭ типа 2³ показан в табл. 3.3.

Обратим внимание, что план ПФЭ 2³ получен повторением комбинации уровней предыдущего плана меньшей размерности 2² (см. табл. 3.2) дважды в сочетании с нижним (опыты № 1...4) и верхним (опыты № 5...8) уровнями нового фактора х₃. Это первое правилосоставления плана эксперимента любой размерности. Другое правило заключается в том, что уровни факторов чередуются по степеням двойки. Для первого фактора (в первом столбце) чередование задается через одну строку, для второго - через две строки, для х₃ через четыре строки и т.д. Это правило позволяет для любого числа факторов записать все возможные сочетания предельных уровней факторов, не упустив какое-либо или не повторив его дважды.

Факторное пространство для k=3 трехмерно. Поэтому геометрический аналог ПФЭ 2³ (см. табл. 3.3) - куб с центром в начале координат и стороной, равной двум. Восемь точек плана (опытов) соответствуют восьми вершинам куба, т.е. удалены от центра плана на максимально возможное (согласно областям определения факторов) расстояние.

Таблица 3.3

Специфика двигателя как объекта испытания может приводить к определенным трудностям даже при составлении самого простого (ПФЭ) плана эксперимента. Например, ограничения режимов работы двигателя иногда не позволяют определить его параметры при экстремальных сочетаниях факторов, когда отдельные опыты выбранного плана не могут быть реализованы из-за несовместимости значений факторов.

Действительно, при определении характеристики ГТД, когда факторами, например, являются n_пр и Т_в*, невозможно одновременно установить необходимые для плана (например, опыт № 4, см. табл. 3.2) максимальные значения Т_в* и n_пр, при этом может быть превышено допустимое значение физической частоты вращения и Т_г*. Если в качестве фактора выбрана физическая частота вращения, то окажется несовместимым сочетание n_max и Т_в *_min, так как при этом может быть превышено допустимое значение приведенной частоты вращения, а при больших значениях р_в* - и допустимое давление за компрессором и т.п. Трудности выбора и реализации оптимального плана возрастают, когда наряду с ограничениями на факторы необходимо учитывать и ограничения отклика. В подобных случаях следует разбить факторное пространство на ряд подобластей и проводить эксперименты в каждой из них согласно своему плану.

Составленный план эксперимента указывает сочетания факторов (условия опытов), при которых следует проводить опыты, т.е. определять значения отклика у.

Для уменьшения при проведении опытов влияния систематических погрешностей, вызванных, например, внешними условиями, можно использовать прием, называемый рандомизацией и сводящий эффект неслучайного фактора к случайной погрешности. Простейший способ рандомизации заключается в случайной последовательности проведения опытов.