Элементы линейной и векторной алгебры

Вопросы экзаменационных билетов по математике за 1 семестр.

1. Матрицы: определение - Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.,

элемент матрицы -Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, в которой находится элемент, а - номер столбца,

размерность матрицы - Пара чисел I и J называется размерностью матрицы и обознается как I × J

2. Квадратная - Если число столбцов матрицы равно числу ее строк (I = J = N), то такая матрица называется квадратной,

симметричная- Матрица A называется симметричной, если A t= A. Иными словами a ij = a ji, диагональная -Матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных (a ii) равны нулю,

единичная - Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1,

треугольная -Матрица A называется верхней треугольной, если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю,

трапецевидная - это матрица элементы главной диагонали, которой не равны нулю,

нулевая матрица- Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из нулей. Она обозначается O. Очевидно, что A + O = A, A − A = O и 0 A = O.

Равные матрицы - Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры.

3. Действия над матрицами:

транспонирование - Матрицу можно транспонировать. При этой операции матрица переворачивается, т.е. строки и столбцы меняются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A ' или индексом A t,

сложение -две матрицы одинаковой размерности можно поэлементно складывать и вычитать,

умножение на число -Матрицы можно умножать на числа. При этом каждый элемент умножается на это число.

Свойства сложения и умножения на число - Свойства умножения матрицы на число:

1.

2.

3.

4.

5.

Свойства сложения и вычитания матриц:

1. Ассоциативность

2. , где - нулевая матрица соответствующего размера.

3.

4. Коммутативность

4. Умножение матриц - Матрицы можно перемножать, но только в том случае, когда они имеют соответствующие размерности.

5. Многочлены от матриц - (прочитать -http://www.reshim.su/blog/mnogochlen_ot_matricy/2013-06-26-336).

6. Определители 2-го и 3-го порядка -. Их вычисление. -

7. Свойства определителей -

1 При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется: .

2 Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя

3

4 Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем

5 Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак

6 Определитель с двумя равными строками равен нулю

7 Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю

8 Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю

9 Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число

10 Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов

8. Минор элемента определителя - Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца.

Алгебраическое дополнение элемента определителя - Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число .

Разложение определителей по строке или столбцу- Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

9. Определитель n-го порядка. Методы его вычисления.

10. Обратная матрица. Алгоритм её нахождения.