Правило замены переменной в пределе (предел сложной функции)

Если и существует , то справедлива формула .

1. Предел промежуточной величины.

Если для функций , и в некоторой окрестности точки выполняется неравенство £ £ и , то и .

Эту теорему иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции и , а функция «следует за милиционерами».

Пример. Найти .

Решение

.

Второй замечательный предел

Можно доказать, что функция при стремится к е:

. (3)

Если в равенстве (3) выполнить замену ( при ), то оно запишется в виде

. (4)

Равенства (3) и (4) – две формы второго замечательного предела. Эти равенства широко применяются при вычислении пределов и раскрытии неопределенности вида .

Пример. Найти .

Решение

.

Вопрос 5. Непрерывность функции

Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и в самой точке х₀.

О.5.1. Функция у = f(х) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в точке х₀ и он равен значению функции в этой точке, т.е.

. (5)

Равенство (5) означает выполнение трех условий:

1) функция f(х) определена в точке х₀ и в ее окрестности;

2) функция f(х) имеет предел при х→х₀;

3) предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство (1).

Геометрически непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки.

Так как , то равенство (5) можно записать в виде , т.е. при нахождении предела непрерывной функции f(х) можно перейти к пределу под знаком функции.

Пример. .

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция у = f(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку

х₀Î(а;b). Для любого хÎ(а;b) разность х ‒ х₀ называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается ∆х:

∆х = х ‒ х₀ Þ х = х₀ + ∆х.

Разность соответствующих значений функции f(х) ‒ f(х₀) называется приращением функции f(х) в точке х₀ и обозначается ∆у (или ∆f):

∆у = f(х) ‒ f(х₀) Þ ∆у = f(х₀ + ∆х) ‒ f(х₀).

Запишем равенство (5) в новых обозначениях. Так как х→х₀, то ∆х = х ‒ х₀ → 0 и равенство (5) принимает вид

или

. (6)

Равенство (6) является еще одним определением непрерывности функции в точке, которое можно сформулировать так.

О.5.2. Функция у = f(х) называется непрерывной в точке х₀, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента ∆х соответствует бесконечно малое приращение функции ∆у.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию у = е^х.

Решение

1. D(y) = R.
2. Возьмем произвольную точку х₀Î D(y) и дадим х₀ приращение ∆х, тогда новое значение аргумента будет х₀ + ∆х.
3. 
4. Найдем приращение функции .
5. .

Следовательно, ∆у →0 при ∆х → 0.

Вывод: На основании определения 5.2 функция у = е^х непрерывна в точке х₀. Так как х₀ - произвольная точка из области определения функции D(y) = R, то функция непрерывна на всей области определения, т.е. на всей числовой оси.

Т.5.1. Для того чтобы функция у = f(х), определенная в некоторой окрестности точки х₀, была непрерывна в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и , равные друг другу и значению функции в точке х₀:

.