Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные принцип и формулы комбинаторикиКомбинаторика – раздел математики, который изучает методы подсчета числа различных комбинаций, почти всегда отвечает на вопрос: «Сколькими способами можно выполнить некоторое действие?». Основные принципы. 1. Если действие состоит из двух операций, которые могут быть выполнены m и n способами соответственно, то общее число действий = m ´ n. Шарики – 3 б + 2 ч. Сколькими способами можно выбрать пару б + ч? Действие можно разбить на две операции: выбор белого шарика (3 способа) и выбор черного (2 способа). Обще число способов выбора = 3 ´ 2 = 6 (этот же результат был получен в последней задаче). На гору ведет 7 дорог. Сколько существует способов совершить прогулку на гору и обратно? Действие можно разбить на два: подъем на гору и спуск. Для любого выбранного способа подъема можно выбрать 7 способов спуска, всего 7 ´ 7 = 49 прогулок. А если потребовать не возвращаться по той же дороге, по которой поднялся? Для любого из 7 подъемов будет ровно 6 возможностей спуска, всего 7 ´ 6 = 42. Карты (52). Число всех комбинаций карт вида («тройка»,«семерка»,«туз»)=4´4´4 (три операции: выбрать тройку, семерку и туза). Число всевозможных комбинаций из трех карт = 52 ´ 51 ´ 50 (три операции: выбрать первую, вторую, третью). Значит, вероятность вытащить комбинацию такого вида = 4´4´4 / 52 ´ 51 ´ 50. Число четырехзначных чисел из цифр 0,1,2,3,4,5 = 5 ´ 6 ´ 6 ´ 6 Число нечетных... = 5 ´ 6 ´ 6 ´ 3 ... при условии, что цифры не повторяются = 5 ´ 5 ´ 4 ´ 3 2. Если действие выполняется любой одной из двух операций, которые могут быть выполнены m и n способами соответственно, то общее число действий = m + n.
Любая последовательность n различных объектов с учетом порядка называется перестановкой этих объектов. Например, abc, acb, bac, bca, cab, cba – различные перестановки элементов abc. Число всех возможных перестановок из n элементов: Pn = n! n! – арифметическая операция, читается n-факториал: n! = 1 ´ 2 ´ 3 ´.... ´ n; 0! = 1. Например, P3 = 1 ´ 2 ´ 3 = 6, то есть можно было для его определения обойтись без перебора. Действительно, как бы ни встали n– 1 человек (одна операция), последний может разместиться среди них n способами (вторая операция), значит, из общего принципа комбинаторики: Pn = Pn –1 ´ n. Применяя многократно эту идею, и получим методом математической индукции доказательство формулы. Например, 5 человек можно расставить в строю 5! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ 4 ´ 5 = 120 способами. Любое подмножество из m элементов множества, содержащего n элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Например, ab, ac, bc – сочетания из множества abc. Число всех различных сочетаний из n элементов по m
Например, число всех пар, которые можно выбрать из 5-ти шариков: . Из пяти карточек с номерами 1, 2, 3, 4, 5 выбираются две. Определить вероятность того, что они окажутся соседними. Построив таблицу сочетаний, можно обнаружить закономерность:
Действительно, комбинации могут не содержать шарик n, а могут содержать, отсюда, по второму принципу комбинаторики, и два слагаемых. Шарики – 3 б + 2 ч = 5. Определить вероятности того, что из двух выбранных оба белых, белый + черный, хотя бы один белый.
.
В общем виде, заменяя числа буквенными обозначениями, можно получить важную формулу, позволяющую решать многие комбинаторные задачи: Шарики – N б + M ч = N + M. Определить вероятность того, что будет выбрана комбинация n белых + m черных.
Использование формулы возможно, если удается отобразить условие задачи в задачу с шариками, то есть сопоставить шарикам объекты задачи. Например, есть 10 вопросов. Из них учащийся знает 7. Какова вероятность того, что оба из двух вопросов билета окажутся известными? Здесь два типа объектов – известные и неизвестные вопросы. N = 7, M = 3, n = 2, m = 0. Подставляя в формулу, получим ответ 21 / 45, то есть вероятность чуть менее половины.
12
|