Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пример 11. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий, соответственно, равны: р ₁ = 0,7; р ₂ = 0,8. Найти вероятность попадания в цель при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одного орудия.

Решение. Задачу можно решить тремя способами.

1 способ. Обозначим события:

С - попадание в цель хотя бы одного орудия;

А - попадание первого орудия;

В - попадание второго орудия.

События А и В являются совместными. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А и В независимы.

Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание):

Р(АВ) = Р(А)×Р(В)=0,7× 0,8=0,56.

Искомая вероятность:

Р(С)=Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 0,94.

2 способ. Обозначим события:

С - попадание в цель хотя бы одного орудия;

- оба орудия промахнулись.

События С и - противоположные, поэтому можно применить теорему сложения вероятностей противоположных событий:

3 способ. Введем обозначения событий:

С - попадание в цель хотя бы одного орудия;

А - попадание первого орудия;

В - попадание второго орудия.

С₁ – попадание только первого орудия

С₂ – попадание только второго орудия

С₃ – попадание двух орудий

События С₁, С₂ и С₃ несовместны, поэтому применима теорема сложения несовместных событий: