Функції багатьох змінних

1. Означення функції багатьох змінних.

2. Неперервність функцій багатьох змінних.

3. Границі функції багатьох змінних.

Розглянемо функцію , , яка кожній точці М множини G (площини або простору) ставить у відповідність деяке число . Якщо G – множина точок координатної площини, то замість пишуть , де х,у – координати точки , і кажуть, що задано функцію двох змінних , .

Отже, функцією двох змінних , , називається функція, яка кожній парі чисел ставить у відповідність деяке число .

Наприклад,

, ,

- функція двох змінних х і у, визначена для будь-яких значень змінних х, у, тобто на всій координатній площині R². Вона кожній точці ставить у відповідність число

Аналогічно означається функція трьох і більшого числа змінних. Наприклад,

,

Функція - функція трьох змінних х, у і z, визначена для всіх значень х, у, z, які задовольняють нерівності і . Вона кожній точці (х, у, z) із зазначеної множини ставить у відповідність число .

Функція - функція чотирьох змінних х, у, z і t, визначена для будь-яких значень змінних х, у, z,t. Можна вважати, що х, у, z- це координати точки простору, а t- час. Функція кожній четвірці чисел (х, у, z,t) ставить у відповідність число .

Надалі для стислості викладу всі означення й твердження формулюватимемо тільки для функцій двох змінних. На функції трьох і більшої кількості змінних, як буде видно в подальшому, вони легко узагальнюються.

2. Неперервність функцій багатьох змінних. Функція , , називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності точок

такої, що , при , послідовність

.

Функція називається неперервною на множині G, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Приклад 1. показати, що функція

неперервна в будь-якій точці своєї області визначення.

Розв’язання. Задана функція в усіх точках , крім точок, в яких . Нехай - деяка точка з області визначення функції , тобто . Тепер для будь-якої послідовності точок такої, що і , при , маємо

.

Отже, задана функція перервна в довільні точці з області визначення.

Приклад 2. Показати, що функція трьох змінних

неперервна в будь-якій точці з області визначення.

Розв’язання. Задана функція визначена на множині G точок , які задовольняють нерівності .

Нехай . Тоді для будь-якої послідовності точок такої, що , , при , маємо

що й треба було довести.

Для функції багатьох змінних, як і для функції однієї змінної, доводять такі твердження:

сума і добуток двох неперервних на множині G функцій є неперервними на G функціями;

відношення двох неперервних на G функцій є неперервною функцією в усіх точках множини G, в яких знаменник не перетворюється в нуль.

3. Границі функції багатьох змінних. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, може, самої точки . Число А називається границею функції при , , якщо для будь-якої послідовності точок , таких що

, при і ≠ , послідовність , , збігається до числа А. У цьому разі пишуть

або при , .

Очевидно, якщо при , , то

де при , .

Оскільки границя функції багатьох змінних зводиться до границі числової послідовності, то для функцій багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, різниці, добутку і частки двох функцій, аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Приклад 1. Знайти границю функції

при , .

Розв’язання. Задана функція визначена в усіх точках площини, крім точки (0; 0) і .

Нехай , , - деяка послідовність точок площини така, що і , при . Тоді при

Отже, при , .

Приклад 2. Довести, що функція

не має границі при , .

Розв’язання. Розглянемо послідовності і , . очевидно, що , при , проте не має границі при . Отже, задана функція не має границі при , .

З означення границі функції в точці випливає, що коли при , то функція неперервна в точці ; і навпаки, якщо функція визначена в деякому околі точки , неперервна в точці , то