Проверка устойчивости системы по критерию Найквиста

Для устойчивости системы по Найквисту необходимо, чтобы а. ф. х. разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до бесконечности не охватывала точку с координатами (-1,j0). Если а. ф. х. разомкнутой системы проходит через точку с координатами (-1,j0), то система будет нейтральной.

Рис. 13 Критерий Найквиста

Как видно из графика а. ф. х. разомкнутой системы охватывает точку с координатой (-1,j0), следовательно замкнутая система неустойчива.

4.2. Построение а.ф.х. линейной части.
Его характер можно определить по его графику, показанному на рисунке 15. График колебательного процесса получен средствами анализа программы SyAn.

Рис. 14 – САУ с нелинейностью

Определим критический коэффициент системы К_кр.

В характеристическом уравнении замкнутой астатической САУ свободный член равен К_раз.

Для определения К_кр по критерию Найквиста необходимо определить величину запаса устойчивости по модулю а: a=1/7,4=0,14.

Тогда критический коэффициент усиления разомкнутой системы рассчитывается по формуле:

К_кр=а К_раз=1,26. Так как К_кр < К_раз,

то рассматриваемая система неустойчива (–аналитический расчёт подтвердил).

Критерий Найквиста предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из характеристического уравнения замкнутой системы путем подстановки p=iω получаем аналитическое выражение вектора:

Выделяем мнимую и действительную части:

Рис. 5.1 Годограф Найквиста

Из рис 5.1 видно, что годограф Найквиста последовательно обходит в положительном направлении 4 квадранта, следовательно, нескорректированная САУ устойчивая. Для достоверности определим критический коэффициент усиления разомкнутой К_кр при котором замкнутая САУ находится на границе устойчивости. Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Найквиста через начало координат. В этом случае существует значение ω, при котором

т.е. ,

Для нахождения К_кр решим систему уравнений:

Из уравнения (2) найдем частоту ω:

Подставим найденную частоту в уравнение (1) и найдем К_кр:

Так как К_кр > К_раз, то рассматриваемая нескорректированная система устойчива.

6. D-разбиение по параметру К_у.

Для построения кривой D-разбиения по параметру К_д характеристическое уравнение замкнутой САУ:

Представляется в виде:

где S(ω) - полином, не содержащий параметр К_д; N(ω) - полином в который линейно входит параметр К_д, по которому выделяется область устойчивости.

Определим параметр К_д:

Выделим действительную и мнимую часть:

Строим на комплексной плоскости К_у кривую и штрихуем одинарной штриховкой для определения претендента на область устойчивости. Кривая D-разбиения по 1-му параметру штрихуется одинарной штриховкой слева, если двигаться по границе устойчивости в направлении возрастания ω от -∞ до ∞. Претендентом на область устойчивости является та, которая имеет наименьшее количество правых корней.

Рис. 6.1 D-разбиение

Область 1 - вероятный претендент на устойчивость. Проверим ее на устойчивость по Гурвицу, взяв точку К_д = 1.

Тогда характеристическое уравнение примет вид:

Область 1 является областью устойчивости, т. к. определители Δ₁, Δ₂, Δ₃, Δ₄ > 0.

Взяв значение параметра К_д = 1.9 для начальных данных, мы получим следующее характеристическое уравнение.

Исходя из условий Гурвица можем утверждать о устойчивости системы в данной точке. Лишний раз убедились в устойчивости системы.