Критерий неприводимости (Эйзенштейн)

Пусть – многочлен в Z [ x ], все коэффициенты которого делятся на некоторое простое число , но не делится на . Тогда не приводим.

Доказательство.

Предположим обратное, что многочлен приводим. Значит, он раскладывается на множители: . Рассмотрим это разложение в . , все , значит . Получили противоречие.

Алгоритм Евклида нахождения :

Пусть даны ненулевые элементы . Применяя последовательность действий:

Таким образом за конечное число шагов получим нулевой остаток от деления, а последний не нулевой остаток и будет .

Теорема 1 (теорема Безу). Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда .

Док-во Из алгоритма деления с остатком: , где . Значит – константа. Подставляя вместо ,получим , значит . В частности .

У любого многочлена имеется свое поле разложения.

Док-во. Рассмотрим многочлен . Рассмотрим факторкольцо , причем в нем имеется какой-то из корней . Значит, раскладывается в на такие множители: . Рассмотрим такое факторкольцо: . Ему принадлежит корень многочлена . Таким образом можно разложить весь многочлен . Выполним те же действия для многочленов . Получим вложенную систему полей , причем последнее будет являться полем разложения для данного многочлена .

Метод Феррари.

3) Рассмотрим многочлен четвертой степени: . Приведем многочлен к виду . Сделаем такую замену, чтобы избавиться от . Пусть : . То есть при получим многочлен вида . Выделим полный квадрат, где – некоторое неизвестное число:

,

.

Число следует выбрать так, чтобы второе слагаемое представляло собой полный квадрат, то есть, чтобы его дискриминант равнялся нулю: получено кубическое уравнение относительно , имеющее хотя бы один вещественный корень. Возьмем этот корень и свернем вторую скобку: получена разность квадратов:

.

Далее приравниваем каждую скобку к нулю, решаем два уравнения и получаем четыре корня.

Правило знаков Декарта

Пусть дан многочлен . Рассмотрим ненулевые коэффициенты многочленов и , и найдем число смен знаков в этих последовательностях. Тогда количество положительных корней равно числу смен знаков коэффициентов многочлена , либо меньше его на четное число. Аналогично для отрицательных корней многочлена . Например, пусть дан многочлен , тогда получим такую последовательность . Число смен знаков равно четырем, значит количество положительных корней равно либо четырем, либо двум, либо нулю. . Число смен знаков равно нулю, значит, отрицательных корней многочлен не имеет.

Метод Штурма

Этот метод применим только для многочленов, не имеющих кратных корней. Поэтому рассматриваем многочлен такого вида . Он имеет те же корни, что и , но единичной кратности

Система Штурма – это множество функций , для которых выполняются следующие условия:

1. и не имеют общих корней.

2. не имеет вещественных корней.

3. Если , тогда .

4. Если , то произведение в точке меняет знак.

Возьмем любое число и подставим в эту систему Штурма: . Получим величину – число смен знака в точке . Тогда число корней на отрезке .

Рассмотрим конкретный пример системы Штурма: – исходный многочлен; . Разложим таким образом: , тогда . Аналогично получаем , где . И так далее получаем остальные функции системы Штурма.

Метод Ньютона

Пусть имеем многочлен и найдена такая точка , что . В этом случае при многочлен не будет иметь корней.

Поле из четырех элементов

Рассмотрим поле и кольцо многочленов над этим полем. Фактор-кольцо является полем, т.к. многочлен неприводим над полем . В получившемся поле ровно четыре элемента.

Уравнение в поле не имеет решений, найдем корень этого уравнения и добавим его к элементам поля : .

Т.к. – корень многочлена , то можно получить:

1) ;

2) ;

3) .

Док-ть, что группа S4 разрешима

Так как , (, где – группа Клейна), , значит, группа разрешима.

В любом кольце многочленов существует бесконечно много неприводимых многочленов.

Доказательство.

1) Пусть бесконечное кольцо, в этом случае достаточно рассмотреть неприводимые многочлены вида .

2) Пусть конечное кольцо. Докажем от противного. Пусть неприводимых многочленов конечное число: . Составим из них многочлен . Этот многочлен не делится ни одним из , значит, либо неприводим, тогда противоречие, либо есть делитель из неприводимых, что тоже приводит к противоречию.