Теорема (Кэли)

Любая конечная группа порядка изоморфна некоторой подгруппе группы .

Доказательство.

Рассмотрим некоторую группу , а так же отображение вида , где . Если , то каждый элемент группы переходит в себя. Если , то согласно следствию из четвертого свойства групп отображение будет ставить в соответствие элементу некоторую перестановку элементов этой же группы, т.е группа будет изоморфна группе перестановок. Известно, что , а по условию , значит изоморфизма между и нет, следовательно группа может быть изоморфна лишь некоторой подгруппе группы .

Разбиение на множество левых (правых) смежных классов порождает отношение эквивалентности: .

Доказательство.

Убедимся в рефлективности, симметричности и транзитивности представленного отношения:

1) , так как ;

2) ;

3) .