Идея доказательства теоремы Стокса

Идея доказательства теоремы Стокса основана на аддитивных свойствах циркуляции, которая вычисляется по замкнутым контурам, охватывающим смежные элементы ориентированной поверхности.

Аддитивное свойство циркуляции

Рассмотрим незамкнутую поверхность с заданной нормалью , ограниченную замкнутым контуром . Разделим на две части и перегородкой – линией . Можно записать

.

Действительно, для непрерывного поля его значения на обеих сторонах линии одинаковы, а направления обхода относительно нормали – противоположны.

Данное свойство говорит о том, что циркуляция по внешнему контору поверхности может порождаться циркуляциями по контурам, охватывающим внутренние элементы поверхности (они могут быть и бесконечно малыми). В приложении к физике это означает: вихревой характер поля (явления) в макроскопическом масштабе может быть обусловлен вихревыми полями (явлениями) на микроуровне.

Вернёмся к теореме Стокса (3). Разобьём поверхность на элементы. Имеем

= (по определ-ю ротора)

.

Мы использовали свойство аддитивности циркуляции по замкнутым контурам, охватывающим смежные элементы поверхности .