Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные теоремы векторного анализаСтр 1 из 5Следующая ⇒
Определение. Область в евклидовом 3-х мерном пространстве называется пространственно - односвязной, если любую простую замкнутою поверхность типа сферы, лежащую в , можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из . Примеры: шар, тор. Шаровой слой не является пространственно- односвязной областью.
Если область пространственно-односвязна, то любая простая замкнутая поверхность типа сферы ограничивает область, целиком лежащую в (например, указанный объем состоит из поверхностей, образующихся в ходе стягивания в точку исходной поверхности). Определение. Область в евклидовом 3-х мерном пространстве называется поверхностно - односвязной, если любую простую замкнутою кривую, лежащую в , можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из . Примеры: шар, шаровой слой. Тор не является поверхностно-односвязной областью.
Если область поверхностно-односвязна, то на любой замкнутый контур в этой области можно “натянуть” поверхность, целиком лежащую в . (Например, указанная поверхность состоит из кривых, образующихся при стягивании в точку исходной кривой.) Определение. Область, не являющаяся поверхностно-односвязной, называется многосвязной. Примеры многосвязных областей: область внутри поверхности тора; область вне тора. а). – внутренность тора. На контур не опирается ни одна поверхность, целиком лежащая в . б). – внешность тора. На контур нельзя натянуть поверхность, целиком лежащую в .
Многосвязная пространственная область может быть превращена в односвязную введением дополнительных границ – “перегородок”, которые не дают возможности провести в области те замкнутые контуры, которые не могут быть стянуты в точку. Так, может быть сделана односвязной, если присоединить к ней перегородку ; станет односвязной, если к её границам добавить перегородку , закрывающую отверстие тора. Теорема Остроградского-Гаусса (теорема о дивергенции) [1] Пусть область ограничена и пространственно-односвязна, поверхность замкнута и регулярна (то есть кусочно-гладкая), функция однозначна и непрерывна в и на , причём все частные производные в выражении непрерывны в области . Тогда , (1) т.е. поток вектора через замкнутою поверхность равен интегралу от дивергенции по объёму, ограниченному этой поверхностью.
Замечание. Теорема справедлива и для неограниченной области, если О при .
Идея доказательства теоремы. Доказательство опирается на свойство аддитивности потоков, которые вычисляются по замкнутым поверхностям, ограничивающим смежные объёмы.
Свойство аддитивности потоков. Пусть объем ограничен поверхностью . Пусть введена перегородка – поверхность , которая делит объем на два объема: и . При этом и поверхность разделилась на части и .
. Действительно, для непрерывного поля его значения на обеих сторонах поверхности одинаковы, а направления положительной нормали – противоположны.
Вернемся к доказательству теоремы. Рассмотрим (1). Разобьём на элементарные объёмы, ограниченные замкнутыми поверхностями .
(по опр-ю дивергенции) = = . Геометрическая интерпретация теоремы Пусть – количество векторных линий, пересекающих замкнутую поверхность в направлении положительной нормали; – количество векторных линий, пересекающих замкнутую поверхность в направлении отрицательной нормали; , (2) где – плотность источников; – масштаб плотности графического изображения линий. Если поток вектора через замкнутую поверхность , ограничивающую некоторую область пространства, отличен от нуля, то в этой области находятся источники поля, плотность которых пропорциональна .
Теорема Стокса (о роторе) Прежде чем формулировать теорему, дадим определение односвязной поверхности.
Определение. Поверхность односвязна, если любая простая замкнутая кривая, целиком принадлежащая , может быть стянута в точку с помощью непрерывной деформации, не выходя из .
Теорема Стокса (о роторе). Пусть вектор-функция однозначна и имеет непрерывные частные производные всюду в конечной поверхностно-односвязной[2] области . Пусть лежащая в области поверхность односвязна, регулярна и ограничена регулярной замкнутой кривой . Тогда
, (3) т.е. поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции по контуру , ограничивающему поверхность .
Замечание 1. – любая кусочно-гладкая поверхность, опирающаяся на . Ориентация согласована с ориентацией .
Замечание 2. Ориентация должна быть согласована с ориентацией по правилу правого винта.
Замечание 3. Формула Стокса (3) остаётся справедливой и для неограниченной области , если подынтегральная функция в интеграле имеет порядок О при .
|