Теорема Гаусса

Используя формулу для напряженности поля, создаваемого точечным зарядом и принцип суперпозиции полей, можно, вообще говоря, рассчитать поле, создаваемое любой системой точечных зарядов, просуммировав поля отдельных зарядов. В случае непрерывного распределения заряда в пространстве, суммирование следует заменить интегрированием. Практически, однако, вычисление соответствующих сумм и интегралов представляет собой трудоемкую задачу. Поэтому был разработан ряд вспомогательных методов, упрощающих вычисления. Один из таких методов основан на применении теоремы Гаусса. Выведем эту теорему.

Рассмотрим один точечный заряд q, помещенный в центре сферы произвольного радиуса r, и вычислим поток напряженности через поверхность этой сферы. Будем считать, что заряд находится в среде с диэлектрической проницаемостью .

, так как

- постоянно на всей поверхности сферы.

Таким образом, поток вектора через охватывающую заряд сферическую поверхность равен . Докажем, что и для поверхности любой другой формы, если она замкнута и заключает внутри себя точечный заряд q, поток вектора также будет равен . Для этого вспомним, что поток вектора численно равен полному числу линий напряженности, пересекающих поверхность. Для поверхности, не сильно отличающейся от сферической, очевидно, что число линий, пересекающих ее, будет такое же, что и для сферы, и, следовательно, .

Если рассмотреть поверхность с “морщинами” и охватывающую заряд, то некоторые линии напряженности будут пересекать эту поверхность несколько раз. Но число пересечений такой линии может быть только нечетным, причем эти пересечения будут вносить в общий поток попеременно то положительный, то отрицательный вклад, и, таким образом, все пересечения, кроме одного, компенсируют друг друга. В итоге, сколько бы раз данная линия не пересекала поверхность, результирующий вклад в поток будет давать только одно пересечение, как и в случае сферической поверхности. Следовательно, и через такую поверхность с “морщинами” поток вектора Е будет тоже равен .

Рассмотрим теперь замкнутую поверхность, не охватывающую заряда q. Как видно из рисунка, в этом случае каждая линия напряженности будет пересекать эту поверхность четное число раз, попеременно внося вклад в положительный поток и в отрицательный. Поэтому полный поток вектора Е через эту поверхность будет равна нулю. Таким образом, для одного точечного заряда q полный поток напряженности через любую замкнутую поверхность S будет равен

, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности.

, если заряд расположен вне замкнутой поверхности.

И результат этот не зависит от формы поверхности.

Рассмотрим теперь случай, когда внутри некоторой замкнутой поверхности заключено несколько точечных зарядов произвольных знаков:

Здесь - напряженность результирующего поля, создаваемого всеми зарядами. В силу принципа суперпозиции полей:

Здесь сложение не векторное, так как это проекции векторов на одну и ту же нормаль. Следовательно, они направлены по одной прямой, но знак у них может быть различен, так как сумма алгебраическая:

но

следовательно,

Эта формула и выражает теорему Гаусса.