Попытка доказательства Гипотезы 4

Доказательство Гипотезы 5 следует из доказательства Гипотезы 4 и свойства складывания сравнений, поэтому попытаемся доказать только Гипотезу 4.

Пусть нам дано

где – целое.

В книге Виноградова И. М. «Основы теории чисел» на стр. 42 указывается, что сравнения можно перемножать, т. е. указанное выше сравнение равносильно следующему

Из определения сравнения известно, что должно делиться на . Проверим это:

А по условию целое, значит исходное сравнение верно.

Из этого доказательства можно сделать вывод, что остатки от деления выражения

на периодичны относительно , поэтому можно доказать истинность равенства

в процентном соотношении для конкретно заданного .

Пусть теперь нам дано сравнение

Оно равносильно

Была сделана замена

Сравнение

верно при любых .

Сравнение

верно только при , где – функция Эйлера от числа и при условии, что . То есть была использована теорема Эйлера.

Таким образом, теперь можно утверждать, что остаток от деления на выражения

периодичен относительно при условии, что

Естественно предположить, что выгодней брать простым, то есть .

На счёт фазы ясности пока нет. Единственная на данный момент гипотеза: фаза появляется, когда и, возможно,