Динамика вращательного движения. Момент инерции относительно оси вращения. Теорема Штейнера

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции.

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

. (2.4.1)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

, (2.4.2)

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 2.1).

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним - r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем . Если - плотность материала, то и . Тогда момент инерции сплошного цилиндра

,

но так как - объем цилиндра, то его масса , а момент инерции

.

Приведем значения моментов инерции (таблица) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).

Таблица

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Момент инерции тела является аналогом массы при вращательном движении, и также как масса является величиной – аддитивной. То есть момент инерции системы тел относительно оси равен сумме моментов инерций отдельных тел относительно данной оси.

Как видно из таблицы, момент инерции тела зависит от его размеров и формы, то есть от распределения массы, а также от положения оси вращения.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

Момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния (a) между осями:

.