Метод простых итераций

Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0. (1)

где f(x) – непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=j (x). (2)

Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня x₀ и подставим его в правую часть уравнения (2). Тогда получим некоторое число x₁=j (x₀). (3)

Подставляя теперь в правую часть равенства (3) вместо x₀ число x₁ получим новое число x₂=j (x₁). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел x_n=j (x_n-1) (n=1, 2,...). (4)

Если эта последовательность – сходящаяся, т.е. существует предел , то, переходя к пределу в равенстве (4) и предполагая функцию j (x) непрерывной, найдем:

или

x =j (x). (5)

Таким образом, предел x является корнем уравнения (2) и может быть вычислен по формуле (4) с любой степенью точности.

Доказано, что достаточными условиями сходимости итерационного процесса является выполнение условия | j (x)< 1 для xÎ [ a,,b ].

При этом процесс сходится к единственному корню x.

На рис. 1 приведен пример сходящегося итерационного процесса x_n+1=j (x_n) при 0 <j ’(x)< 1 и на рис.2 – расходящегося при j ’(x)< 1.

Алгоритм метода простых итераций:

1) Условие преобразуется к виду , где — сжимающая функция

2) Задаётся начальное приближение и точность

3) Вычисляется очередная итерация

3.1 Если , то и возврат к шагу 3.

3.2 Иначе и останов.