Метод хорд

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения (1) принимаются значения х1, х2,..., хn точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс (Рисунок 3). Сначала запишем уравнение хорды AB:

.

Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс (х = х1, y = 0) получим уравнение:

Пусть для определенности f'' (x) > 0 при а х b (случай f'' (x) < 0 сводится к нашему, если записать уравнение в виде - f(x) = 0). Тогда кривая у = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) f(а) > 0 (Рисунок 3, а) и 2) f(b) < 0 (Рисунок 3, б).

Рисунок 3,а,б

В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: x0=b;

(5)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем

Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения: x0= а;

(6)

образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем

Обобщая эти результаты, заключаем:

неподвижен тот конец, для которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее второй производной f'' (х);

последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня x, где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f''(х).

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что

| xi - xi - 1|< e,

где e - заданная предельная абсолютная погрешность.