Р і ш е н н я. Розглянемо механічну систему, що складається з платформи і вантажу

Покажемо на рисунку зовнішні сили, що діють на систему: сили тяжіння та , реакції опору , та обертаючий момент .

Для визначення кутової швидкості платформи застосуємо теорему про зміну кінетичного моменту механічної системи відносно осі :

. (1)

Оскільки сили і паралельні до осі, а реакції і цю вісь перетинають, тоді їх моменти відносно осі дорівнюють 0. Тоді, вважаючи для моменту позитивним напрям (тобто проти ходу годинникової стрілки), отримаємо:

і рівняння (1) набере такого вигляду:

Розділяючи змінні і інтегруючи рівняння, отримаємо:

(2)

Для даної механічної системи

,

де і кінетичні моменти платформи і вантажу.

Оскільки платформа обертається навколо осі , тоді

Значення моменту інерції знайдемо згідно із теоремою Гюйгенса:

_,

де – момент інерції відносно осі , яка паралельна до осі та проходить крізь центр мас платформи .

Тоді

Отже

Для визначення розглянемо рух вантажу як складний, вважаючи його рух по жолобу на платформі відносним, а обертання самої платформи навколо осі – переносним рухом. Тоді абсолютна швидкість вантажу

Оскільки вантаж рухається згідно із законом , тоді . Показуємо вектор з врахуванням знаку. Враховуючи напрям, показуємо вектор перпендикулярно до , чисельно . Тоді, за теоремою Варіньона:

Величину знаходимо з трикутника за теоремою косинусів:

Тоді кінетичний момент механічної системи:

Рівняння (2) матиме вигляд:

Сталу інтегрування визначаємо за початковими умовами: коли . Маємо

При цьому значенні знаходимо залежність від часу .

Відповідь: , де – в секундах, – в .