Механічної системи

Однорідна горизонтальна платформа (кругла радіусу або прямокутна із сторонами і , де ) масою обертається з кутовою швидкістю навколо вертикальної осі , віддаленої від центру мас платформи на відстань (рис. Д4.0 – Д4.9, таблиця Д4); розміри для всіх прямокутних платформ показані на рис. Д4.а (вид зверху).

У момент часу по жолобу платформи починає рухатися (під дією внутрішніх сил) вантаж масою згідно із законом , де вимірюється в метрах, – в секундах. Одночасно на платформу починає діяти пара сил з моментом (заданий в ; коли , його напрям протилежний до показаного на рисунках).

Нехтуючи масою валу, визначити залежність , тобто кутову швидкість платформи як функцію часу.

На всіх рисунках вантаж показаний в положенні, при якому (коли , вантаж знаходиться по іншу сторону від точки ). Змальовуючи креслення вирішуваного завдання, провести вісь на заданій відстані від центру .

Вказівки. Завдання Д4 – на вживання теореми про зміну кінетичного моменту системи. При застосуванні теореми до системи, що складається з платформи і вантажу, кінетичний момент системи відносно осі визначається як сума моментів платформи і вантажу. При цьому слід врахувати, що абсолютна швидкість вантажу складається з відносної і переносної швидкостей, тобто . Тому і кількість руху цього вантажу . Тоді можна скористатися теоремою Варіньона (статика), згідно з якою ; ці моменти обчислюються так само, як моменти сил. Детальніше хід рішення роз'яснений в прикладі Д4.

При рішенні задачі корисно змалювати на допоміжному кресленні вигляд платформи зверху (з кінця осі ), як це зроблено на рис. Д4.0а – Д4.9а.

Момент інерції платформи масою відносно осі , яка перпендикулярна до платформи та проходить через її центр масс , дорівнює:для прямокутної платформи із сторонами і : ; для круглої платформи радіусу : .

Таблиця Д4

Номер умови					Номер умови

Приклад Д4. Однорідна горизонтальна платформа (прямокутна із сторонами і ; рис. Д4, Д4а), що має масу , жорстко скріплена з вертикальним валом і обертається разом із ним навколо осі з кутовою швидкістю . Одночасно вантаж масою , що знаходиться в жолобі в точці , під дією внутрішніх сил починає рухатися по жолобу згідно із законом .

Д а н о: , , , , ( в метрах, в секундах), , .

В и з н а ч и т и: закон зміни кутової швидкості платформи.