Р і ш е н н я

Розглянемо механічну систему, що складається з плити і вантажу в довільному стані. На систему діють зовнішні сили: сили тяжіння і реакція спрямовуючих . Проведемо координатні осі . Для визначення швидкості плити скористаємося теоремою про зміну кількості руху системи в проекції на вісь :

оскільки всі зовнішні сили, що діютьна систему, вертикальні.

Проінтегруємо рівняння:

. (1)

Для заданої механічної системи

,

де кількість руху плити, кількість руху вантажу.

Тоді з рівності (1) виходить, що

або . (2)

Для визначення розглянемо рух вантажу як складний, вважаючи його рух по жолобу на плиті відносним, а рух самої плити вздовж спрямовуючих – переносним рухом. Тоді абсолютна швидкість вантажу:

або . (3)

Переносна швидкість , отже . Вектор відносної швидкості спрямований по дотичній до жолоба в точці та дорівнює:

.

Знак «−» показує, що вантаж рухається у бік, протилежний позитивному відліку кута .

Винайдемо значення :

.

(Знак «−» у значенні використаний для побудови вектора швидкості і більше на рішення не впливає).

Підставимо знайдені значення швидкостей у формулу (2) та, враховуючи, що , отримаємо:

. (3)

Сталу інтегрування визначимо за початковими умовами: коли :

.

Тоді залежність (3) матиме вигляд:

.

Підставивши значення відповідних величин, знаходимо залежність швидкості плити від часу :

Відповідь: .