Р і ш е н н я. Розглянемо механічну систему, що складається з плити і вантажів і

Розглянемо механічну систему, що складається з плити і вантажів і . На систему діють зовнішні сили: сили тяжіння та реакція спрямовуючих . Проведемо координатні осі так, щоб вісь проходила через точку , де знаходився центр мас плити у момент часу .

а) Визначення переміщення . Для визначення скористаємося теоремою про рух центру мас механічної системи. Складемо диференціальне рівняння його руху в проекції на вісь (див. рис.Д2.а):

, (1)

оскільки всі зовнішні сили, що діють на систему, вертикальні.

Проінтегрувавши рівняння (1), маємо:

,

тобто проекція швидкості центру мас системи на цю вісь є величиною постійною. Оскільки у початковий момент часу , тоді .

Проінтегрувавши рівняння , маємо ,

тобто центр мас системи вздовж осі переміщуватися не буде.

Визначимо значення за формулою:

,

де абсциси вантажів і центру плити.

Виведемо абсциси вантажів у довільний момент часу через :

,

.

Підставимо отримані значення:

(2)

Завважимо, що координата центру мас в початковому і довільному положенні системи є величиною постійною, тому визначимо початкову координату , після чого прирівняємо отримані значення координати. Врахуємо початкові умови: коли :

.

Прирівняєм значення та і отримаємо залежність координати від часу :

. (3)

,

де в секундах.

б) Визначення реакції . Для визначення складемо диференціальне рівняння руху центру мас системи в проекції на вісь (див. рис. Д2.б):

. (4)

Звідси знайдемо значення реакції :

. (5)

Ординату центру мас системи визначимо за формулою:

,

де ординати вантажів і центру плити. Виведемо ординати вантажів через ординату центру плити, враховуючи, що :

,

.

Тоді ордината центру мас:

.

Продиференціюємо обидві частини цього рівняння за часом двічі:

.

Підставимо отримане значення в рівняння (5) і визначимо

шукану залежність реакції від часу :

.

Відповідь: ,

, де в секундах, метрах, в ньютонах.