Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости

Пусть квадрика приведена к каноническому виду.

Для ε_i = - 1, 0, 1 всего различных комбинаций будет - 3³=27.

1. ε₁ = 1, ε₂ = 1, ε₃ = 1 rang Q = 3.

x₁ ² + x₂ ² + x₃ ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет только точка , но на проективной плоскости Р₂ нет такой точки. (Почему?)

Т.е. ни одна точка Р₂ не удовлетворяет этому уравнению. Такую квадрику будем называть нулевой.

Замечание: Нулевой квадрикой также будет - x₁ ² - x₂ ² - x₃ ² = 0.

2. ε₁ = 1, ε₂ = 1, ε₃ = - 1 rang Q = 3.

x₁ ² + x₂ ² - x₃ ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет множество точек. Такую квадрику будем называть овальной.

Замечание: Овальными также будут: x₁ ² - x₂ ² + x₃ ² = 0, - x₁ ² + x₂ ² + x₃ ² = 0,

- x₁ ² - x₂ ² + x₃ ² = 0, - x₁ ² + x₂ ² - x₃ ² = 0, x₁² - x₂ ² - x₃ ² = 0.

3. ε₁ = 1, ε₂ = 1, ε₃ = 0 rang Q = 2.

x₁ ² + x₂ ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет только одна точка с действительными координатами Е₃ и множество точек с мнимыми координатами. Эта квадрика является пересечением двух мнимых прямых x₁ = ± i ∙ x₂, которые пересекаются одной действительной точке Е₃.

Замечание: К этому же классу относятся квадрики: x₁ ² + x₃ ² = 0, x₂ ² + x₃ ² = 0,

- x₁ ² - x₂ ² = 0, - x₁ ² - x₃ ² = 0, - x₂ ² - x₃ ² = 0.

4. ε₁ = 1, ε₂ = - 1, ε₃ = 0 rang Q = 2.

x₁ ² - x₂ ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет множество точек с действительными координатами.

Так как x₁ ² - x₂ ² = (x₁ - x₂)·(x₁ + x₂),

то эта квадрика является пересечением двух прямых x₁ = x₂ и x₁ = - x₂.

Замечание: К этому же классу относятся квадрики: x₁ ² - x₃ ² = 0, x₂ ² - x₃ ² = 0,

- x₁ ² + x₂ ² = 0, - x₁ ² + x₃ ² = 0, - x₂ ² + x₃ ² = 0.

5. ε₁ = 1, ε₂ = 0, ε₃ = 0 rang Q = 1.

x₁ ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет множество точек с действительными координатами. Эта квадрика является парой совпавших прямых x₁ =0 и x₁= 0.

Замечание: К этому же классу относятся квадрики: х₂ ² = 0, x₃ ² = 0,

- x₁ ²= 0, - x₂ ² = 0, - x₃ ² = 0.

6. ε₁ = 0, ε₂ = 0, ε₃ = 0 rang Q = 0.

0 ∙ x₁ ² + 0 ∙ x₂ ² + 0 ∙ x₃ ² =0- этому уравнению удовлетворяют все точки проективной плоскости. Поэтому как квадрику это уравнение не рассматривают.

Вывод: На проективной плоскости существует пять классов квадрик

Теорема. Каковы бы ни были пять точек на проективной плоскости, среди которых никакие четыре не лежат на одной прямой, существует единственная квадрика инцидентная им.

Доказательство. Пусть точки будут А, В, С, D, H. Из данных пяти точек коллинеарными может быть только три. Если никакие три точки не лежат на одной прямой, то любые четыре можно выбрать в качестве репера плоскости. Если есть три точи лежащие на одной прямой, например А, В, С, то оставшиеся D и H не лежат на этой прямой. Тогда в качестве точек репера возьмем А, В, D, H.

R (А, В, D, H), тогда А , В , D , H , С .

Подставим координаты точек в уравнение (*), получим:

А q₁₁ ∙1² + q₂₂ ∙0² + q₃₃ ∙0² + 2 q₁₂ ∙1∙0 + 2 q₁₃ ∙1∙0 + 2 q₂₃ ∙0∙0 = 0,

В q₁₁ ∙0² + q₂₂ ∙1² + q₃₃ ∙0² + 2 q₁₂ ∙0∙1 + 2 q₁₃ ∙0∙0 + 2 q₂₃ ∙1∙0 = 0,

D q₁₁ ∙0² + q₂₂ ∙0² + q₃₃ ∙1² + 2 q₁₂ ∙0∙0 + 2 q₁₃ ∙0∙1 + 2 q₂₃ ∙0∙1 = 0,

Н q₁₁ ∙1² + q₂₂ ∙1² + q₃₃ ∙1² + 2 q₁₂ ∙1∙1 + 2 q₁₃ ∙1∙1 + 2 q₂₃ ∙1∙1 = 0,

С q₁₁ ∙ с₁ ² + q₂₂ ∙ с₂ ² + q₃₃ ∙ с₃ ² + 2 q₁₂ ∙ с₁ ∙ с₂ + 2 q₁₃ ∙ с₁ ∙ с₃ + 2 q₂₃ ∙ с₂ ∙ с₃ =0,

q₁₁ = 0, q₂₂ = 0, q₃₃ = 0, q₁₂ + q₁₃ + q₂₃ = 0, q₁₂ ∙ с₁ ∙ с₂ + q₁₃ ∙ с₁ ∙ с₃ + q₂₃ ∙ с₂ ∙ с₃ = 0.

Матрица системы имеет ранг 2, в противном случае точка С совпадала бы с одной из точек репера (проверьте). Значит, существуют ненулевые решения, т.е. квадрика существует. Найдем их.

→ q₁₂ = с₂ ∙ с₃ - с₁ ∙ с₃, q₁₃ = с₁ ∙ с₂ - с₂ ∙ с₃, q₂₃ = с₁ ∙ с₃ - с₁ ∙ с₂.

Или q₁₂ = с₃ ∙(с₂ - с₁), q₁₃ = с₂ ∙(с₁ - с₃), q₂₃ = с₁ ∙(с₃ - с₂)

с₃ ∙(с₂ - с₁)∙ х₁ ∙ х₂ + с₂ ∙(с₁ - с₃)∙ х₁ ∙ х₃ + с₁ ∙(с₃ - с₂)∙ х₂ ∙ х ₃ = 0 - уравнение квадрики в репере R (А, В, D, H). □

Замечание: Если среди пяти точек никакие три не коллинеарны, то через них нельзя провести двух прямых, а значит, квадрика будет овальной. Если есть тройка коллинеарных точек, через две оставшиеся можно провести вторую прямую и квадрика распадается на две прямые.

Задача. Составить уравнение квадрики проходящей через точки

А , В , D , H , С .

Решение. Подставим координаты точек в уравнение (*).

А q₁₁ ∙2² + q₂₂ ∙1² + q₃₃ ∙0² + 2 q₁₂ ∙2∙1 + 2 q₁₃ ∙2∙0 + 2 q₂₃ ∙1∙0 = 0,

В q₁₁ ∙2² + q₂₂ ∙(-1)² + q₃₃ ∙0² + 2 q₁₂ ∙2∙(-1) + 2 q₁₃ ∙2∙0 + q₂₃ ∙(-1)∙0=0,

D q₁₁ ∙0² + q₂₂ ∙0² + q₃₃ ∙1² + 2 q₁₂ ∙0∙0 + 2 q₁₃ ∙0∙1 + 2 q₂₃ ∙0∙1 = 0,

Н q₁₁ ∙(-2)² + q₂₂ ∙0² + q₃₃ ∙1² + 2 q₁₂ ∙(-2)∙0 + 2 q₁₃ ∙(-2)∙1 +2 q₂₃ ∙0∙1=0,

С q₁₁ ∙2 ² + q₂₂ ∙ 2² + q₃₃ ∙ 3² + 2 q₁₂ ∙ 2∙ 2 + 2 q₁₃ ∙ 2∙ 3 +2 q₂₃ ∙ 2∙ 3 = 0,

q₁₁ ∙ х₁ ² - 4 ∙ q₁₁ ∙ х₂ ² + 2 ∙ q₁₁ ∙ х₁ ∙ х₃ =0 х₁ ² - 4 ∙ х₂ ² + 2 ∙ х₁ ∙ х₃ = 0

(разделили на q₁₁ ≠ 0, так как все коэффициенты одновременно не могут быть равными 0).

Задача. Привести уравнение квадрики 2 ∙ х₂ ² - 3 ∙ х₃ ² - 2 ∙ х₁ ∙ х₂ - 2 ∙ х₁ ∙ х₃ - 2 ∙ х₂ ∙ х₃ =0 к каноническому виду.

Решение. Один из способов приведения КВП к каноническому виду основан на применении собственных векторов и собственных значений матрицы. Но этот способ довольно громоздкий.

Приведем КВП к каноническому виду методом Лагранжа (метод выделения полных квадратов).

( ∙ х₂)² - 2 ∙ х₁ ∙ х₂ + 2 ∙ х₁ ∙ х₃ - 2 ∙ х₂ ∙ х₃ + х₁ ² +

+ х₃ ² - 2 ∙ х₁ ∙ х₃ - х₁ ² - х₃ ² - 3 ∙ х₃ ² - 2 ∙ х₁ ∙ х₃ =

=( х₁ + х₃ - ∙ х₂)² - 3 ∙ х₁ ∙ х₃ - х₃ ² - х₁ ² = ( х₁ + х₃ - ∙ х₂)² - (3 ∙ х₁ ∙ х₃ +7 х₃ ² + х₁ ²)=

=( х₁ + х₃ - ∙ х₂)² - (х₁ ² + 2 ∙ х₁ ∙ х₃ + х₃ ² - х₃ ² +7 х₃ ²)=

=( х₁ + х₃ - ∙ х₂)² - (х₁ + х₃)² + х₃ ² - 7 х₃ ²=( х₁ + х₃ - ∙ х₂)² - (х₁ + х₃)² - х₃ ² =( х₁ + х₃ - ∙ х₂)² - ( х₁ + х₃)² - ( х₃) ² =0,

( х₁ + х₃)² + ( х₃) ² - ( х₁ + х₃ - ∙ х₂)² = 0.

Если ввести новые переменные , тогда в

новых координатах уравнение квадрики примет вид: - это овальная квадрика.

Выделить полные квадраты можно и другим способом:

2 ∙ х₂ ² - 3 ∙ х₃ ² - 2 ∙ х₁ ∙ х₂ - 2 ∙ х₁ ∙ х₃ - 2 ∙ х₂ ∙ х₃ =0 |: 2

х₂ ² - 1,5∙ х₃ ² - х₁ ∙ х₂ - х₁ ∙ х₃ - х₂ ∙ х₃ =

= х₂ ² - 2∙ х₂ ∙0,5· х₁ - 2∙ х₂ ∙0,5· х₃ + 2∙0,5· х₁ ∙0,5· х₃ + 0,25∙ х₁ ² +0,25∙ х₃ ² -

- 0,25∙ х₁ ² - 0,25∙ х₃ ² - 0,5∙ х₁ ∙ х₃ - х₁ ∙ х₃ - 1,5∙ х₃ ² =

= (х₂ - 0,5· х₁ - 0,5· х₃)² - 0,25∙ х₁ ² - 1,5∙ х₁ ∙ х₃ - 1,75∙ х₃ ² = (х₂ - 0,5· х₁ - 0,5· х₃)² - 0,25∙(х₁ ² + 6∙ х₁ ∙ х₃ + 7∙ х₃ ²)=

= (х₂ - 0,5· х₁ - 0,5· х₃)² - 0,25∙(х₁ ² + 2∙ х₁ ∙3∙ х₃ + 9∙ х₃ ² - 2∙ х₃ ²)=

= (х₂ - 0,5· х₁ - 0,5· х₃)² - 0,25∙(х₁ + 3∙ х₃)² + 0,5∙ х₃ ² = 0 | × 4

4∙(х₂ - 0,5· х₁ - 0,5· х₃)² - (х₁ + 3∙ х₃)² + 2∙ х₃ ² = 0 (2· х₂ - х₁ - х₃)² - (х₁ + 3∙ х₃)² + 2∙ х₃ ² = 0.

Введя новые переменные , уравнение квадрики примет вид: - это овальная квадрика.