Принцип двойственности

Пусть на P₂ фиксирован репер R (Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е), пусть даны какие-либо точка А и прямая и (и₁: и₂: и₃).

Рассмотрим отображение f: P₂ → P₂ такое, что точке в соответствие ставится прямая с такими же координатами, а прямой – точка:

А → f (А) =а (а₁: а₂: а₃) и и (и₁: и₂: и₃) → f (и) = .

Определение: Такое отображение называется корреляция.

Свойства:

1. А≠В f (А) ≠ f (В)

2. f ^-1.

Теорема. Корреляция сохраняет отношение принадлежности.

Доказательство. Докажем, что А и f (и) f (А).

Пусть А и прямая и (и₁: и₂: и₃), т.е. и₁ х₁ + и₂ х₂ + и₃ х₃ = 0.

Если А и и₁ а₁ + и₂ а₂ + и₃ а₃ = 0.

f (А) =а (а₁: а₂: а₃), значит а₁ х₁ + а₂ х₂ + а₃ х₃ = 0.

f (и) = U и f (и) f (А) а₁ и₁ + а₂ и₂ + а₃ и₃ = 0.

Очевидно, что эти условия одинаковы. □

Замечание: Таких отображений может быть много, они зависят от репера.

Замечание: В дальнейшем вместо термина «принадлежность» будем применять термин «инцидентность».

Примеры: «точка принадлежит прямой» ↔ «точка инцидентна прямой»,

или «прямая проходит через точку» ↔ «прямая инцидентна точке»,

или «две прямые пересекаются в одной точке» ↔ «две прямые инцидентны одной точке»

Вывод: Точки и прямые ведут себя одинаково.

Таким образом, можем сформулировать следующий принцип.

Малый принцип двойственности: Пусть верно некоторое предложение, касающееся точек и прямых и отношения инцидентности на проективной плоскости Р₂, тогда будет верным предложение в котором слово «точка» заменено на слово «прямая», слово «прямая» заменено на слово «точка», отношение инцидентности не меняется.

Это принцип справедлив в силу свойств заданного выше отображения и теоремы. Вспомним свойства проективного пространства.

· Через две точки проходит одна прямая - Двум точкам инцидентна одна прямая.

· Две прямые пересекаются в одной точке - Двум прямым инцидентна одна точка.

Такие предложения называются двойственными.

Двойственными могут быть фигуры на проективной плоскости.

Определение: Фигура, состоящая из трёх различных точек, не лежащих на одной прямой и трёх прямых, проходящих через эти точки, называется т рёхвершинником. Точки называются вершинами, а прямые сторонами.