Уравнение прямой. Координаты прямой

Пусть даны две различные точки А и В , по свойствам проективного плоскости (пространства) через две различные точки проходит одна и только одна прямая - (АВ).

Пусть точка Х (АВ), тогда по условию коллинеарности трёх точек

= λ ∙ + μ ∙ или Х=λ ∙ А+ μ ∙ В.

Определение: Уравнение Х=λ ∙ А+ μ ∙ В называется параметрическим уравнением прямой (АВ). Величины λ и μ называются параметрами точки Х.

Для точки А - λ= 1 и μ= 0, для точки В - λ= 0 и μ= 1.

Замечание: Параметры точки не могут одновременно обращаться в ноль. Кроме того, параметры определяются с точностью до пропорциональности. (Почему?)

Замечание: Параметрическое уравнение применимо для задания прямой в Р₃ и в Р_п.

Задача. Даны две точки А и В , записать параметрическое уравнение прямой, найти значения параметров для точек М и К ,

Решение. Параметрическое уравнение прямой имеет вид: Х=λ ∙ А+ μ ∙ В

или = λ ∙ + μ ∙ , или .

Чтобы найти параметры для точки М нужно решить систему ,

решение системы: λ= 2 и μ= -1, значит точка М (АВ).

Чтобы найти параметры для точки К нужно решить систему ,

система не имеет решения, значит точка К (АВ).

Рассмотрим другое условие коллинеарности точек: = 0.

Разложим этот определитель по третьему столбцу:

х₁∙ - х₂∙ + х₃∙ = 0.

Обозначим: и₁ = , и₂ = - , и₃ = .

Тогда получим уравнение: и₁ х₁ + и₂ х₂ + и₃ х₃ = 0.

Среди чисел и₁, и₂, и₃ хотя бы один коэффициент отличен от нуля. (Почему?)

Теорема. Однородное линейное уравнение 1 степени от трех переменных на проективной плоскости определяет прямую линию.

Доказательство. Пусть и₁ х₁+ и₂ х₂+ и₃ х₃= 0 - уравнение некоторой линии, докажем, что это прямая. Хотя бы один коэффициент уравнения не равен 0. Пусть для определенности и₁ ≠ 0.

Рассмотрим точки М и К , эти точки существуют, различны и лежат на этой линии.

(Почему?).

Составим уравнение прямой (МК):

= 0 - и²₁ ∙х₁ - и₁ ∙и₂ ∙х₂ - и₁ ∙и₃ ∙х₃ = 0 |: и₁≠ 0,

получим уравнение и₁ х₁ + и₂ х₂ + и₃ х₃ = 0.

Таким образом, уравнение линии, проходящей через точки М и К совпадает с уравнением прямой (МК), значит это линия и есть прямая. □

Замечание: Так как уравнение однородное, то его коэффициенты определены с точностью до пропорциональности.

Определение: Однородное уравнение I степени от трех переменных на проективной плоскости называется однородным уравнением прямой.

Задача. Даны точки А и В , составить однородное уравнение прямой, проверить принадлежат ли точки М и К этой прямой.

Решение. =0 х₁ - х₂ + х₃ = 0

5 х₁ – (- 11) х₂+ (- 14) х₃ = 0 5 х₁ + 11 х₂ - 14 х₃ = 0.

Подставим координаты точек М и К в уравнение прямой:

5∙3 + 11∙5 - 14∙5=15 + 55 – 70 = 0 М (АВ),

5∙1 + 11∙(-3) - 14∙2 = 5 – 33 – 28 ≠ 0 К (АВ).