Аксиомы проективного пространства

Рассмотрим (п+ 1)-мерное векторное пространство - V _{n +1}, исключим из него нулевой вектор ō - V_n+1 / {ō} = V ⁰ _n+1.

Замечание: V_n+1 - можно брать над любым полем. Мы в дальнейшем будем брать векторное пространство над полем действительных чисел. В общем случае поле может быть как бесконечным, так и конечным.

Определение: Множество P_n ≠Ø называется п- мерным проективным пространством, если существует некоторое отображение φ: V ⁰ _n+1 → P_n, удовлетворяющее условиям:

1. φ -сюръекция (любой элемент из P_n имеет хотя бы один прообраз).

2. (образы равны тогда и только тогда, когда прообразы коллинеарны).

Эти условия называются аксиомами проективного пространства. В этом случае говорят, что V_n+1 - векторное пространство порождает P_n -проективное пространство.

Если V_n+1 содержит L_m+1 - подпространство, то оно в свою очередь будет порождать P_m проективное подпространство в P_n.

Частные случаи:

· проективное пространство P₃ порождено V₄;

· проективная P₂ порождена V₃ V₄ P₂ P₃;

· проективная прямая P₁ порождена

V₂ V₃ V₄ P₁ P₂ P₃;

· проективная точка P₀ порождена

V₁ V₂ V₃ P₀ P₁ P₂.