Пуассоновский процесс

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени Dt (Dt® 0), проходящий между моментами t и t+Dt. При определении пуассоновского процесса используются три основные предпосылки:

1. вероятность одного поступления в течение времени Dt определяется в виде: lDt+О(Dt), где О(Dt) – члены более высокого порядка, которыми мы можем пренебречь при Dt ®0;

2. вероятность нулевого поступления в течение времени Dt равна 1-lDt;

3. поступление – без последействия (без памяти), т.е. поступление в течение Dt не зависит от предыдущих поступлений.

Если теперь рассмотреть большой промежуток времени Т, то вероятность p(k) того, что в промежутке Т произойдут k поступлений, равна:

, где k = 0, 1, 2, …

Это равенство называется распределением Пуассона. Оно нормировано:

и его среднее значение имеет вид:

.

Дисперсия распределения:

.

Теперь рассмотрим большой промежуток времени и отметим на нём моменты, в которые наступили события Пуассоновского процесса.

Очевидно, что t - это положительная случайная величина с непрерывным распределением. Оказывается, что для Пуассоновского распределения величина t распределена по показательному закону:

Среднее значение показательного распределения:

а дисперсия .

Рассмотрим очередь из нескольких вызовов, ожидающих обслуживания. Отметим время завершения обслуживания:

Обозначим случайную величину, описывающую время между завершениями обслуживания через r. Эта же величина является временем обслуживания. Если r распределена по показательному закону со средним значением

E(r)=1/m,

то плотность распределения будет равна:

.

Процесс обслуживания является полным аналогом процесса поступления и обладает всеми свойствами последнего. На основании этого вероятность завершения обслуживания в малом промежутке времени (t, t+Dt) в точности равна mDt + О(Dt), а вероятность незавершения обслуживания в промежутке (t, t+Dt) равна 1-mDt+О(Dt) независимо от предыдущих или последующих завершений.

Показательная модель обслуживания обладает свойством отсутствия последействия, которая используется как одна из определяющих предпосылок Пуассоновского процесса.

Ещё одно полезное свойство, объединяющее одну из причин, по которой Пуассоновский процесс часто используется для моделирования входящих потоков, заключается в том, что при объединении m независимых Пуассоновских потоков с произвольными интенсивностями l₁, l₂, … l_m, объединённый поток также будет Пуассоновским с интенсивностью .

В применении к сетям такое положение возникает, когда статистически объединяются пакеты иди вызовы от ряда источников, каждый из которых генерирует их с Пуассоновской интенсивностью.