Отношение сигнал/шум для квантованных импульсов

В случае L -уровневого устройства квантования аналогового сигнала с полным диапазоном напряжений, равным V_pp=V_p-(-V_p)=2V_p шаг между уровнями квантования, называемый интервалом кван­тования, составляет q вольт. Если уровни квантования равномерно распределены по всему диапазону, устройство квантования именуется равномерным, или линейным. Ка­ждое дискретное значение аналогового сигнала аппроксимируется квантованным им­пульсом: аппроксимация дает ошибку, не превышающую q/2 в положительном на­правлении или -q/2 в отрицательном. Таким образом, ухудшение сигнала вследствие квантования ограничено половиной квантового интервала, ±q/2 вольт.

Критерием качества равномерного устройства квантования является его дисперсия (среднеквадратическая ошибка при подразумеваемом нулевом среднем). Если считать, что ошибка квантования, е, равномерно распределена в пределах интер­вала квантования шириной q (т. е. аналоговый входной сигнал принимает все воз­можные значения с равной вероятностью), то дисперсия ошибок для устройства кван­тования составляет

, (2.8)

где - (равномерно распределённая) плотность вероятности возникновения ошибки квантования. Дисперсия, , соответствует средней мощности шума квантования. Пиковую мощность аналогового сигнала (нормированную на 1 Ом) можно выра­зить как

, (2.9)

где L – число уровней квантования. Объединение выражений (2.8) и (2.9) даёт отношение пиковой мощности сигнала к средней мощности квантового шума :

(2.10)

где N – средняя мощность шума квантования. Очевидно, что отношение квад­ратично растет с числом уровней квантования. В пределе сигнал становится аналоговым (бесконечное число уровней квантования и нулевой шум квантования). Для случайных сигналов в параметр входит не максимальная, а средняя мощность сигнала. В этом случае для получения средней мощности сигнала требуется знать функцию плотности вероятности.

Если включить в рассмотрение работу квантующего устройства в интервале насыщения, то получим, что интервалы квантования не имеют равной ширины внутри области изменения входной переменной и плотность амплитуды не является равномерной внутри интервала квантования. Можно вычислить эту зависящую от амплитуды энергию ошибки , её мощность является полной мощностью ошибки, которая может быть разделена следующим образом:

, (2.11)

Здесь - мощность ошибки в линейной области, а - мощность ошибки в области насыщения. В случае равномерного закона распределения ошибки в области насыщения, её дисперсия может быть вычислена по формуле:

, (2.12)

где A – амплитуда входного сигнала.

Одной из характеристик квантующих устройств является отношение мощности шума к мощности сигнала (noise-to-signal ratio - NSR). Для устройства квантования с 2^b расположенными на одинаковых расстояниях уровнями квантования этот параметр вычисляется по формуле:

, (2.13)

где - дисперсия входного сигнала, которая определяется формулой:

, (2.14)

Пример: определим дисперсию устройства квантования и отношение мощности шума к мощности сигнала (NSR) для равномерно распределенного в полной динамической об­ласти сигнала, созданного устройством квантования с 2^b расположенными на одинаковых рас­стояниях уровнями квантования. В этом случае шума насыщения не существует и должна быть вы­числена только величина линейного шума. Каждый интервал квантования равен

. (2.15)

Здесь 2E_max — это входной интервал между положительной и отрицательной границами ли­нейной области квантования.

Решение:

Подставляя выражение (2.15) в формулу (2.8), получим следующую мощность шума квантования (в линейной области):

Мощность входного сигнала находится путем интегрирования выражения (2.14) для равномерной плотности вероятности в интервале длины 2Emax с центром в точке 0, так что , и дисперсия сигнала находится следующим образом:

.

Рассматривая отношение мощности шума к мощности сигнала (NSR), получим следующее:

.

Методика выполнения работы.