Общие понятия

X. Сложное сопротивление

Общие понятия

Под сложным сопротивлением понимают различные комбинации простых напряженных состояний (растяжения, сжатия, сдвига, кручения, изгиба). В общем случае в поперечных сечениях бруса действуют шесть компонентов внутренних усилий: N, Q_x, Q_y, M_x, M_y, M_z=M_кр. Оси х, у будем далее считать главными. Нормальная сила N и изгибающие моменты M_x, M_y вызывают нормальные напряжения. От поперечных сил Q_x, Q_y и крутящего момента M_z = M_кр возникают касательные напряжения. В самом общем случае в точках стержня все элементы тензора напряжений будут отличными от нуля (может не во всех точках!). У такого напряжённого состояния существуют три главных напряжений и соответствующие им главные площадки. Как и в случае двухосного напряжённого состояния, они устанавливаются как собственные значения и собственные векторы тензора напряжений Т_σ. В результате приходим к возможности замены тензора напряжений тремя главными напряжениями

Решение вопроса о прочности такого кубика является важнейшей задачей технической механики и сопротивления материалов.

- как найти эту функцию? Ответ на этот вопрос дают различны теории прочности.

Плоскость изгибающего момента не проходит через глав. ось. Если , х, у – глав. оси., например, круглое сечение, все оси главные, косой изгиб не возникает.

,

Уравнение следа силовой плоскости:

, .

Норм. напряж:

.

Прямая линия, проходящая через начало координат!

,

След сил плоскости и нулевая линия не перпендикулярны!!!

.

Часто оси х и у являются осями симметрии и точки с максим. напряжен. совпадают с угловыми точками. Тогда:

или .

Расчёты на прочность по допускаемым напряжениям

В наиболее опасной точке одноосное напряжённое состояние, т.е. простое растяжение или сжатие, Поэтому расчёты на прочность выполняются соответственно. Все теории прочности приведут к тем же результатам.

1. Пластичный материал.

Условие прочности

2. Хрупкий материал.

Два условия прочности

Опасными являются 2 сечения где М_х и М_у достигают максимума.

Расчёты на прочность по предельным состояниям

Для балок с симметричными сечениями из пластичных материалов условие прочности имеет вид

Для произвольного сечения

х, у – координаты точки, наиболее удалённой от нулевой линии.

Если балка из хрупкого материала, проверка прочности проводится два раза: в точках с наибольшими растягивающими и сжимающими напряжениями:

Положение опасного сечения не всегда является очевидным, т.е. М_х и М_у одновременно не достигают в одном и том же сечении максимальных значений. Тогда приходится проверять в двух сечениях.

Пример

l = 1 м, , , , , .

1)Построим эпюры М_х и М_у.

2)В опасном сечении построить эпюру напряжений.

3)Проверить прочность.

Из таблицы: А₁ = 18,1 см²

h = 16 см, b = 6,4 см, z_o = 1,8см, J = 63,3 см⁴, J = 747 см⁴

Для сечения балки осевые моменты инерции

, ,

Осевые моменты сопротивления

,

Максимальные значения М_х и М_у находятся в разных местах: сечениях С и D. Поэтому опасными сечениями приходится считать оба сечения. Разрешить эту неопределённость можно только вычислить напряжения в указанных сечениях.

С:

D:

Опасным является сечение D. Силовая плоскость определяется углом α.

.

Нулевая линия определяется углом β.

.

Показываем М_х и М_у в соответствии с эпюрами изгибающих моментов, далее и М.

В точках D и E напряжения наибольшие. Проверку прочности выполним из расчёта по предельным состояниям по условию

или т.е.

Прочность балки обеспечена.

3. Внецентренное растяжение (сжатие) прямого стержня

Имеются в виду жёсткие стержни (короткие) . , F ~

Оси х, у – центральные, главные

N = F, ,

По принципу независимости действия сил

В одних точках + в других -. Граница – нулевая линия. Если (х, у) , уравнение нулевой линии.

(2)

Найдём отрезки, отсекаемые нулевой линией на координатных осях.

х = 0. , (3)

- радиусы инерции

Расчёты на прочность после родственного вопроса.

Ядро сечения

Хрупкие материалы плохо сопротивляются растяжению. Появление растягивающих напряжений нежелательно. Этого можно добиться, располагая т.В(х_F, y_F) достаточно близко к центру тяжести сечения. Тогда х₀ и у₀ по формулам (3) будут большими, нулевая линия будет проходить за пределами сечения, в сечении возникнут напряжения одного знака.

Ядром сечения называется область в окрестности центра тяжести в пределах которой можно прикладывать силу, вызывающую напряжения одного знака. Если силу приложить в точках границы Я.С., то нулевая линия будет касаться контура сечения.

Техника построения ядра сечения следующая:

Проводится нулевая линия касающаяся сечения (но не пересекающая!). В формулах (3) тогда х₀ и у₀ становятся известными. Неизвестными являются х_F и y_F координаты точки приложения силы F, т.е. точки, принадлежащей границе ядра сечения. Эти координаты определяются из (3) ,

Повторяя такую процедуру многократно, получим множество (х_F, y_F), определяющее границу ЯС. Рассмотрим на примере прямоугольника.

, , , .

Проводим касательную 1-1. , . x_F = 0, . Получена точка 1. Аналогично 2,3, 4. При переводе касательной из 1-1 в 2-2 она поворачивается вокруг точки С, точка (х_F, y_F) движется по прямой 1-2. Положению нулевой линии 1-1 соответствует точка 1 ЯС. При повороте 1-1 в 2-2 точка 1 переходит по 1-2. Далее касательная скользит по окружности, граница ЯС очерчивается по кривой 2-3-4.