Задача Д3

Вертикальный вал АК (рис. Д3.0-D3.9), вращающейся с постоянной угловой скоростью закреплен подпятником в точке А и радиальным подшипником в точке, указанной в табл. Д3 в столбце 2 (AB = BD =

= DE = EK = a). К валу жестко прикреплены: тонкий однородный ломаный стержень массой m = 10 кг, состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рисунках, где b = 0,1м, а их массы m₁ и m₂ пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной l = 4b с точечной массой m₃ =3кг на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы даны в столбцах 5 – 8.

Таблица Д3

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление в точке
Ломаного стержня	Невесо-мого стержня
Рис. 0 - 4	Рис 5 - 9
	B	D	K
	K	B	D
	K	E	B
	D	K	B
	K	D	E
	E	B	K
	E	D	K
	K	B	E
	D	E	K
	E	K	D

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять а = 0,6м.

Указания. Задача Д3 – на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня) имеют равнодействующую то численно - ускорение центра масс С тела, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С (см. пример Д3).

Пример Д3. Вертикальный вал длиной 3а (AB = BD = DE = a), закрепленный подпятником А и радиальным подшипником D (рис. Д3.10) вращается с постоянной угловой скоростью . К валу жестко прикреплен в точке Е ломаный однородный стержень массой m и длиной 10в, состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке В прикреплен невесомый стержень длиной l = 5b с точечной массой m ₃ на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Д а н о: Определить реакции подпятника А и подшипника D, пренебрегая весом вала.

Решение. 1. Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепление к нему в точках В и Е стержни (рис. Д3.11).

Рис. Д3.10 Рис. Д3.11.

Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны m₁ = 0,6m; m₂ = 0,4m;

P₁ = 0,6mg; P₂ = 0,4mg; P₃ = m₃ g. (1)

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси Аху так, чтобы стержни лежали в плоскости ху и изобразим действующие на систему силы; активные силы – силы тяжести и реакции связей – составляющие реакции подпятника и реакцию радиального подшипника .

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно - расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения, а численно где масса элемента. Так как, все пропорциональны то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 – прямоугольник (рис. Д3б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение , где m – масса тела, - ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

(2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

(3)

Ускорение центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

(4)

где - расстояние центров масс частей стержня от оси вращения, а - соответствующее расстояние груза:

(5)

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), получим числовые значения (6)

При этом линии действия равнодействующих пройдут через «центры тяжестей» соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия действия проходит на расстоянии от вершины треугольника E, где H = 6bcos30⁰.

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

(7)

где - плечи сил относительно точки А, равные (при подсчетах учтено, что )

(8)

Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из равенств (1),(5),(6),(8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

О т в е т: