Задача Д2

Механическая система состоит из: грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ = 0,3 м, r₃ = 0,1м и радиусом инерции относительно оси вращения , блока 4 радиуса R₄ = 0,2м и катка (или подвижного блока) 5 (рис.D2.0 – D2.9, табл. D2); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость . Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости С.

Под действием силы , зависящей от перемещения S точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение S станет равным S₁ = 0,2м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы Д2, где обозначено: V₁, V₂, V_C5 – скорости грузов 1,2 и центра масс тела 5 соответственно, - угловые скорости тел 3 и 4. Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 на рис.2), катятся по плоскостям без скольжения. На всех рисунках не изображать груз 2, если m₂ = 0; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия Т системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении Т для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося параллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться

Nbsp; Рис. Д2.0-9

Таблица D2

Номер условия						C н/м	М н · м	Н	Найти
							1,2	80 (4+5 S)
							0,8	50 (8+3 S)
							1,4	60 (6+5 S)
							1,8	80 (5+6 S)
							1,2	40 (9+4 S)
							1,6	50 (7+8 S)
							0,8	40 (8+9 S)
							1,5	60 (8+5 S)
							1,4	50 (9+2 S)
							1,6	80 (6+7 S)

мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение S₁, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Пример Д2. Механическая система (рис. Д2.10) состоит из: сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ и r₃ и радиусом инерции относительно оси вращения , блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен ). Система приходит в движение под действием силы , зависящей от перемещения S точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления. Д а н о:

Определить: в тот момент времени, когда S = S₁.

Решение. 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные реакции напряжение нити , силы трения и момент М.

Рис. Д2. А Рис. Д2.б.

Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3. К центру Е блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости С; ее начальная деформация равна нулю.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием

Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

(1)

2. Определяем Т₀ и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀ = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

(2)

Учитывая, что тело 1 движется плоско-параллельно, тело 5 – поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим

(3)

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую Для этого предварительно заметим, что где А – любая точка обода радиуса r₃ шкива 3 и что точка К₁ – мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим r₁. Тогда

(4)

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

(5)

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно

(6)

4.Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь S₁. Введя обозначения: S₅ – перемещение груза 5 (S₅ = S₁), - угол поворота шкива 3, - начальное и конечное удлинения пружины, получим

Работы остальных сил равны нулю, так как точки К₁ и К₂, где приложены силы мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы - неподвижны; а реакция перпендикулярна перемещению груза.

По условиям задачи, Тогда - перемещение точки Е (конца пружины). Величины надо выразить через заданное перемещение S ₁; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда так как (равенство уже отмечалось), то и . Далее, из рис. Д2б видно, что , а так как точка К₂ является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы «катится» по участку нити К₂L), то следовательно, и При найденных значениях для суммы вычисленных работ получим

(7)

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что Т₀ = 0, придем к равенству

(8)

Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .

О т в е т: